contrôle du 21 octobre 2006

Corrigé de l'exercice 1

1. À partir du graphique et des renseignements fournis :

   1. Déterminer $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$

      L'axe des abscisses est asymptote à la courbe ${𝒞}_f$ au voisinage de $+\infty$ par conséquent, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ .

      ---

   2. Déterminer $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(3\right)$ .

      La tangente à la courbe au point A d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses donc le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)=0$ .

      ---

      Le nombre dérivé $f\prime \left(3\right)$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point $B\left(3;\mathrm{1,5}\right)$ .

      Cette tangente passe aussi par le point de coordonnées $\left(\mathrm{5,5};\mathrm{0,5}\right)$ .

      Donc : $$\begin{array}{lllll}f\prime \left(3\right)& =& {\displaystyle \frac{\mathrm{1,5}-\mathrm{0,5}}{3-\mathrm{5,5}}}& =& -{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,5}}}\end{array}$$

      Soit $f\prime \left(3\right)=-\mathrm{0,4}$ .

      ---

   3. Résoudre $f\prime \left(x\right)⩾0$ .

      D'après sa courbe représentative, la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle $[0;1]$ et décroissante sur $[1;+\infty [$ .

      Alors $f\prime \left(x\right)⩾0$ pour tout réel x de l'intervalle $[0;1]$ .

      ---

2. On considère la fonction g qui à x associe $g\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ .

   1. Préciser l'intervalle de définition I de la fonction g

      La fonction g est la fonction composée f suivie de la fonction inverse.

      Par conséquent, g est définie et dérivable pour tout réel x de l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$ tel que $f\left(x\right)\ne 0$ .

      Or $f\left(0\right)=0\iff x=0$ .

      Donc la fonction g est définie sur l'intervalle $\mathrm{I}=]0;+\infty [$ .

      ---

   2. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }g\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)$ .

      • $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0^{+}$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=+\infty$ donc $\underset{x\to 0}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ .

        ---

      • $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0^{+}$ et $\underset{X\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{X}}=+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ .

      ---

   3. Calculer $g\prime \left(1\right)$ et $g\prime \left(3\right)$ .

      Sur l'intervalle $]0;+\infty [$ la fonction f est dérivable et non nulle alors, la fonction $g={\displaystyle \frac{1}{f}}$ est dérivable et $g\prime =-{\displaystyle \frac{f\prime }{f^2}}$ .

      Soit pour tout réel x de l'intervalle $]0;+\infty [$ , $g\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{f\prime \left(x\right)}{{\left(f\left(x\right)\right)}^2}}$ .

      Donc $$\begin{array}{lllllll}g\prime \left(1\right)& =& -{\displaystyle \frac{f\prime \left(1\right)}{{\left(f\left(1\right)\right)}^2}}& =& -{\displaystyle \frac{0}{{\mathrm{2,5}}^2}}& =& 0\end{array}$$

      et $$\begin{array}{lllllll}g\prime \left(3\right)& =& -{\displaystyle \frac{f\prime \left(3\right)}{{\left(f\left(3\right)\right)}^2}}& =& -{\displaystyle \frac{-\mathrm{0,4}}{{\mathrm{1,5}}^2}}& =& {\displaystyle \frac{8}{45}}\end{array}$$

      $g\prime \left(0\right)=0$ et $g\prime \left(3\right)={\displaystyle \frac{8}{45}}$ .

      ---

   4. Étudier les variations de la fonction g sur I.

      Les fonctions u et ${\displaystyle \frac{1}{u}}$ ont des variations contraires sur un intervalle où la fonction u ne s'annule pas.

      D'où le tableau des variations de la fonction g

      x	0			1		$+\infty$
      $g\left(x\right)$		$+\infty$		${\displaystyle \frac{1}{\mathrm{2,5}}}$		$+\infty$

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3. On considère la fonction h qui à tout réel x strictement positif associe $h\left(x\right)=f\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)$ .

   1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }h\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)$ . Que peut-on déduire pour la courbe représentative de la fonction h ?

      $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\infty$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ donc $\underset{x\to 0}{\lim }h\left(x\right)=0$ .

      ---

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ et $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=0$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)=0$ .

      ---

      $\underset{x\to +\infty }{\lim }h\left(x\right)=0$ alors, l'axe des abscisses est asymptote à la courbe représentative de la fonction h au voisinage de $+\infty$.

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   2. Calculer $h\prime \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)$ .

      Pour tout tout réel x strictement positif, posons $u\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ . Alors, la fonction h est la composée de la fonction u suivie de la fonction f.

      D'après le théorème sur la dérivation des fonctions composées : $$\begin{array}{lll}h\prime \left(x\right)& =& f\prime [u\left(x\right)]\times u\prime \left(x\right)\\ & =& f\prime {\displaystyle \left[\left({\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\right]}\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{x^2}}\right)\end{array}$$

      Donc $$\begin{array}{lll}h\prime \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)& =& f\prime {\displaystyle \left[{\displaystyle \frac{1}{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}}\right]}\times {\displaystyle \left(-{\displaystyle \frac{1}{{\left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}^2}}\right)}\\ & =& -9\times f\prime \left(3\right)\\ & =& -9\times \left(-\mathrm{0,4}\right)=\mathrm{3,6}\end{array}$$

      Ainsi $h\prime \left({\displaystyle \frac{1}{3}}\right)=\mathrm{3,6}$ .

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