contrôle du 21 octobre 2006

Corrigé de l'exercice 2

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par : $f\left(x\right)=\sqrt{2x^2+x+1}$ .

1. Calculer $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

   • $\underset{x\to -\infty }{\lim }2x^2+x+1=\underset{x\to -\infty }{\lim }2x^2=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }\sqrt{X}=+\infty$ donc $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ .

     ---

   • $\underset{x\to -\infty }{\lim }2x^2+x+1=\underset{x\to +\infty }{\lim }2x^2=+\infty$ et $\underset{X\to +\infty }{\lim }\sqrt{X}=+\infty$ donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ .

     ---

2. Calculer $f\prime \left(x\right)$ .

   $f=\sqrt{u}$ où u est la fonction définie sur $ℝ$ par $u\left(x\right)=2x^2+x+1$.

   u est une fonction polynôme du second degré dont le minimum est atteint pour $x=-{\displaystyle \frac{1}{4}}$.

   Or $u\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)=2\times {\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2+\left(-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right)+1={\displaystyle \frac{7}{8}}$

   Ainsi u est une fonction dérivable et strictement positive sur $ℝ$, alors la fonction $f=\sqrt{u}$ est dérivable sur $ℝ$ et $$f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime }{2\sqrt{u}}}$$

   $u\left(x\right)=2x^2+x+1$ donc pour tout réel x, $u\prime \left(x\right)=4x+1$.

   D'où pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{u\prime \left(x\right)}{2\sqrt{u\left(x\right)}}}\\ & =& {\displaystyle \frac{4x+1}{2\sqrt{2x^2+x+1}}}\end{array}$$

   Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4x+1}{2\sqrt{2x^2+x+1}}}$.

   ---

3. Étudier les variations de la fonction f.

   On peut au choix étudier les variations de la fonction f :

   1. Sans utiliser la dérivée.

      La fonction u est strictement décroissante et positive sur $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right]$ , la fonction "racine carrée" est strictement croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ , donc la composée $f=\sqrt{u}$ est strictement décroissante sur $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right]$.

      La fonction u est strictement croissante et positive sur $\left[-{\displaystyle \frac{1}{4}};+\infty \right[$ , la fonction "racine carrée" est strictement croissante sur $\left[0;+\infty \right[$ , donc la composée $f=\sqrt{u}$ est strictement croissante sur $\left[-{\displaystyle \frac{1}{4}};+\infty \right[$.

   2. En utilisant la dérivée.

      Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{4x+1}{2\sqrt{2x^2+x+1}}}$. Donc $f\prime \left(x\right)$ et $4x+1$ sont de même signe.

      D'où le tableau des variations de f

      x	– ∞		$-{\displaystyle \frac{1}{4}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		–	0	+
      $f\left(x\right)$	$+\infty$		$\sqrt{\frac{7}{8}}$		$+\infty$

   Sur $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{1}{4}}\right]$, la fonction f est décroissante et sur $\left[-{\displaystyle \frac{1}{4}};+\infty \right[$, la fonction f est croissante.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.