contrôles en terminale ES

contrôle du 21 octobre 2006

Corrigé de l'exercice 3

Le coût total de fabrication d'un produit est donnée par Cq=q33-6q2+40q pour q[0;12]q représente le nombre de milliers d'unités fabriquées et Cq le coût de fabrication en centaines d'euros. La courbe (F) représentative de la fonction coût total est donnée en annexe ci-dessous.

  1. On rappelle que le coût unitaire moyen est donné par CMq=Cqq pour q0.

    1. Exprimer en fonction de q le coût unitaire moyen.

      Pour q]0;12], CMq=Cqq=q33-6q2+40qq=qq23-6q+40q

      Pour q]0;12], CMq=q23-6q+40.


    2. Calculer le nombre q0 d'unités à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.

      La fonction coût moyen est la restriction à l'intervalle ]0;12] d'une fonction polynôme du second degré dont le minimum est atteint pour q=--62×13=6×32=9

      Le coût moyen est minimal pour une production de 9 000 unités.


  2. On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire. On modélise ce coût marginal par Cmq=CqC est la dérivée de C.

    1. Exprimer en fonction de q le coût marginal.

      Cmq=Cq=13×3×q2-6×2×q+40

      Pour q[0;12], Cmq=q2-12q+40.


    2. Vérifier que pour q0, le coût marginal est égal au coût moyen.

      CM9=923-6×9+40=13 et Cm9=92-12×9+40=13.

      Pour une production de 9 000 unités, le coût marginal est égal au coût moyen.


  3. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (F) au point A d'abscisse 9. La tracer sur le graphique joint en annexe.

    Une équation de la tangente T à la courbe (F) au point A d'abscisse 9 est :y=C9×q-9+C9

    Or C9=Cm9=13 et C9=933-6×92+40×9=117.

    D'où y=C9×q-9+C9y=13×q-9+117y=13q

    La tangente T à la courbe (F) au point A d'abscisse 9 a pour équation y=13q . Il s'agit de la droite (OA).


    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    remarque :

    Soit A un point de la courbe (F) d'abscisse q0, les coordonnées du point A sont : A(q0;Cq0).

    Si q00, le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à : Cq0q0=CMq0.

    Graphiquement, pour un point A de la courbe coût total, le coût moyen est le coefficient directeur de la droite (OA).


  4. On suppose que l'entreprise vend toute sa production.
    Pour q]0;12] le bénéfice en centaines d'euros, pour la production et la vente de q milliers d'unités est Bq=-q33+2q2+21q .

    1. Calculer le nombre d'unités à produire pour que l'entreprise soit rentable.

      L'entreprise est rentable pour une production telle que Bq>0.

      C'est à dire pour q]0;12] solution de l'inéquation -q33+2q2+21q>0q-q23+2q+21>0-q23+2q+21>0Car q est strictement positif

      Il suffit d'étudier sur l'intervalle ]0;12], le signe du polynôme du second degré en q : -q23+2q+21

      Δ=22+4×213=32 . D'où Δ=42

      Le polynôme admet deux racines q1=-2-42-23=3+62 et q2=-2+42-23=3-62.

      De plus, le coefficient de q2 est strictement négatif a=-13.

      D'après la règle donnant le signe d'un trinôme du second degré, nous pouvons dresser le tableau de signes de la fonction B dans l'intervalle 012.

      q0 3+62 12
      Bq +0|| 

      Ainsi Bq>0 pour q03+62.

      Or la troncature de 3+62 au millième est égale à 11,485 donc :

      l'entreprise est rentable pour une production inférieure à 11 485 unités.


    2. Déterminer le nombre d'unités à fabriquer pour obtenir le bénéfice maximum. Que vaut ce bénéfice maximal ?

      Pour q012, Bq=-13×3×q2+2×2×q+21=-q2+4q+21

      Étude du signe du polynôme : -q2+4q+21

      Δ=16+84=100

      Le polynôme admet deux racines q1=-4-10-2=7 et q2=-4+10-2=-3.

      De plus, le coefficient de q2 est strictement négatif a=-1.

      D'après la règle donnant le signe d'un trinôme du second degré, nous pouvons dresser le tableau de signes de la fonction dérivée B dans l'intervalle 012, et à partir du signe de la dérivée, nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction B sur l'intervalle 012.

       q  0  7  12 
      Bq +0|| 
       Bq fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

      D'après le tableau des variations, la fonction B admet un maximum pour q=7 et ce maximum est :B7=-733+2×72+21×7=3923

      Le bénéfice est maximal est de 13066 € pour une production de 7 000 unités.



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