Le coût total de fabrication d'un produit est donnée par pour où q représente le nombre de milliers d'unités fabriquées et le coût de fabrication en centaines d'euros. La courbe (F) représentative de la fonction coût total est donnée en annexe ci-dessous.
On rappelle que le coût unitaire moyen est donné par pour .
Exprimer en fonction de q le coût unitaire moyen.
Pour ,
Pour , .
Calculer le nombre d'unités à fabriquer pour que le coût moyen soit minimal.
La fonction coût moyen est la restriction à l'intervalle d'une fonction polynôme du second degré dont le minimum est atteint pour
Le coût moyen est minimal pour une production de 9 000 unités.
On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire. On modélise ce coût marginal par où est la dérivée de C.
Exprimer en fonction de q le coût marginal.
Pour , .
Vérifier que pour , le coût marginal est égal au coût moyen.
et .
Pour une production de 9 000 unités, le coût marginal est égal au coût moyen.
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe (F) au point A d'abscisse 9. La tracer sur le graphique joint en annexe.
Une équation de la tangente T à la courbe (F) au point A d'abscisse 9 est :
Or et .
D'où
La tangente T à la courbe (F) au point A d'abscisse 9 a pour équation . Il s'agit de la droite (OA).
Soit A un point de la courbe (F) d'abscisse , les coordonnées du point A sont : .
Si , le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à : .
Graphiquement, pour un point A de la courbe coût total, le coût moyen est le coefficient directeur de la droite (OA).
On suppose que l'entreprise vend toute sa production.
Pour le bénéfice en centaines d'euros, pour la production et la vente de q milliers d'unités est .
Calculer le nombre d'unités à produire pour que l'entreprise soit rentable.
L'entreprise est rentable pour une production telle que .
C'est à dire pour solution de l'inéquation
Il suffit d'étudier sur l'intervalle , le signe du polynôme du second degré en q :
. D'où
Le polynôme admet deux racines et .
De plus, le coefficient de est strictement négatif .
D'après la règle donnant le signe d'un trinôme du second degré, nous pouvons dresser le tableau de signes de la fonction B dans l'intervalle .
q | 0 | 12 | |||
+ | – |
Ainsi pour .
Or la troncature de au millième est égale à 11,485 donc :
l'entreprise est rentable pour une production inférieure à 11 485 unités.
Déterminer le nombre d'unités à fabriquer pour obtenir le bénéfice maximum. Que vaut ce bénéfice maximal ?
Pour ,
Étude du signe du polynôme :
Le polynôme admet deux racines et .
De plus, le coefficient de est strictement négatif .
D'après la règle donnant le signe d'un trinôme du second degré, nous pouvons dresser le tableau de signes de la fonction dérivée dans l'intervalle , et à partir du signe de la dérivée, nous pouvons établir le tableau des variations de la fonction B sur l'intervalle .
q | 0 | 7 | 12 | ||
+ | – | ||||
D'après le tableau des variations, la fonction B admet un maximum pour et ce maximum est :
Le bénéfice est maximal est de 13066 € pour une production de 7 000 unités.
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