Baccalauréat septembre 2006 MATHÉMATIQUES Série ES

sujet : Polynésie

indications pour l'exercice 3 : commun à tous les candidats

La société INFOLOG a mis au point un nouveau logiciel de gestion destiné aux PME. Cette société a mené une enquête dans une région auprès de 300 entreprises équipées d'ordinateurs aptes à recevoir ce logiciel, ceci afin de déterminer à quel prix chacune de ces entreprises accepterait d'acquérir un exemplaire de ce nouveau logiciel. Elle a obtenu les résultats suivants :

x prix proposé pour le nouveau
logiciel en centaines d'euros

y nombre d'entreprises disposées
à acheter le logiciel à ce prix

30 90
25 120
20 170
15 200
10 260
  1. Représenter graphiquement le nuage de points de la série (xi;yi) dans un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 200 euros en abscisses et 5 cm pour 100 entreprises en ordonnées).
    Placer le point moyen G après avoir déterminé ses coordonnées.

  2. Déterminer, par la méthode des moindres carrés, l'équation de la droite D d'ajustement affine de y en x sous la forme y=ax+b.
    Aucun détail des calculs n'est demandé, les résultats ne seront pas arrondis.
    Tracer D sur le graphique précédent.

  3. En utilisant l'ajustement précédent, préciser pour quel prix de vente la société INFOLOG peut espérer que les 300 entreprises contactées acceptent d'acquérir ce logiciel.

  4. On note R(x) la recette, exprimée en centaines d'euros, dégagée par la vente de y logiciels au prix de x centaines d'euros.

    1. En utilisant la relation entre y et x obtenue à la question 2, donner l'expression de R(x) pour x variant entre 5 et 30.

      La recette, exprimée en centaines d'euros, dégagée par la vente de y logiciels au prix de x centaines d'euros est R(x)=y×x.

    2. Étudier les variations de la fonction R sur [5;30] et en déduire le prix de vente du logiciel, exprimé en euros, pour que la recette R(x) soit maximale. Déterminer alors le montant de cette recette ainsi que le nombre d'entreprises disposées à acheter le logiciel à ce prix.


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