contrôles en terminale ES

bac blanc du 21 février 2008

correction de l'exercice 1 : commun à tous les Élèves

On considère la fonction f définie et dérivable sur .
La figure ci-dessous montre une partie de sa courbe représentative (Cf) dans un repère orthonormal.

On dispose des renseignements suivants sur la fonction f et la courbe (Cf) :

  • la fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [-2;2], elle est strictement décroissante sur l'intervalle ]-;-2] et sur l'intervalle [2;+[;
  • la droite d'équation y=0,5 est asymptote à la courbe (Cf) en - et +.
  • la tangente en A(0;12) à la courbe (Cf) passe par le point de coordonnées (1;32).
Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.


Chaque question ci-dessous comporte trois réponses possibles. Pour chacune de ces questions, une seule des réponses proposées est exacte. On demande de cocher cette réponse.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total est négatif, la note est ramenée à 0.

1) Sur , l'équation f(x)=4,9 admet :

On applique le théorème de la valeur intermédiaire Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l'équation f(x)=k admet une solution unique. sur chacun des intervalles où la fonction f est monotone :

  • Sur l'intervalle ]-;-2] la fonction continue f est strictement décroissante et 0,5<0,49<f(-2) donc l'équation f(x)=0,49 admet une solution unique a]-;-2[.

  • Sur l'intervalle [-2;2] la fonction continue f est strictement croissante et f(-2)<0,49<f(2) donc l'équation f(x)=0,49 admet une solution unique b[-2;2[.

  • Sur l'intervalle [2;+[ la fonction continue f est strictement décroissante et 0,49]0,5;f(2)] donc l'équation f(x)=0,49 n'a pas de solution sur cet intervalle.

Ainsi, L'équation f(x)=0,49 admet exactement deux solutions.

  • une solution

  • deux solutions


  • trois solutions

2) On note f la fonction dérivée de f sur . La fonction f est

La fonction f est strictement croissante sur l'intervalle [-2;2] , alors sur cet intervalle sa dérivée est positive (f(x)0).

  • croissante sur [0;2]
  • positive sur [-2;2]


  • positive sur [0;+[

3) La tangente en A à la courbe (Cf) apour équation 

La tangente en A(0;12) à la courbe (Cf) passe par le point de coordonnées (1;32) d'où une équation de la tangente : y=32-121-0×(x-0)+12y=x+0,5

  • y=0,5x+1
  • y=x+0,5


  • y=1,5x+0,5

4) Si F  est une primitive de la fonction f définie sur alors :

F est une primitive de f sur alors pour tout réel x, F(x)=f(x).

Or f(0)=0,5 donc F(0)=0,5

  • F(0)=0,5


  • F  est croissante sur ]-2;0[
  • F(2)=0

5) On note g la fonction définie sur [0;+[ par g(x)=ln(f(x))

limx+f(x)=0,5 et limX0,5ln(X)=ln0,5=-ln2 donc par composition, limx+ln(f(x))=-ln2

  • limx+g(x)=+
  • limx+g(x)=+
  • limx+g(x)=-ln2


6) On note g la fonction dérivée de g sur [0;+[

La dérivée de la fonction g est la fonction définie sur [0;+[ par g(x)=f(x)f(x)

Or f(0)=0,5 et f(0)=32-121-0=1 d'où g(0)=10,5=2

  • g(0)=0
  • g(0)=2


  • g(0)=ln0,5


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