On admettra que les fonctions considérées dans cet exercice sont dérivables sur l'intervalle .
Soit la fonction f définie sur l'intervalle par La figure ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal .
La courbe coupe l'axe des abscisses en et en B.
La tangente en C à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses et la tangente en A à la courbe coupe l'axe des ordonnées en D.
Déterminer l'abscisse du point B (la valeur exacte est demandée).
La courbe coupe l'axe des abscisses en et en B alors l'abscisse du point B est l'une des solutions de l'équation
Soit
Or l'abscisse du point A est égale à 1 donc
L'abscisse du point B est égale à .
Calculer la limite de f en 0 et la limite de f en .
d'où donc par produit, .
d'où donc par produit, .
Ainsi, et
On note la fonction dérivée de f sur .
Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle ,
d'où avec
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle ,
Pour tout réel x de l'intervalle ,
Déterminer les coordonnées du point C et l'ordonnée du point D (les valeurs exactes sont demandées).
La tangente en C à la courbe est parallèle à l'axe des abscisses alors l'abscisse x du point C est solution de l'équation
Soit
C est un point de la courbe donc ses coordonnées sont . Or
Les coordonnées du point C sont .
Une équation de la droite (AD) tangente à la courbe au point est donnée par la relation
Avec
D'où l'équation de la droite (AD) :
D est le point d'intersection de la droite (AD) avec l'axe des ordonnées. Donc
Les coordonnées du point D sont .
Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.
Or la fonction est définie pour tout réel , donc est du même signe que sur l'intervalle .
Pour tout réel ,
Nous pouvons donc déduire le signe de sur l'intervalle et dresser le tableau des variations de f.
x | 0 | e | ||||
Signe de f ' | + | − | ||||
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