contrôles Spécialité en terminale ES

contrôle du 06 octobre 2009

Corrigé de l'exercice 1

L'espace est muni d'un repère orthonormal Oıȷk représenté en annexe ci-dessous.

  1. Tracer les droites d'intersection du plan (P) d'équation 5x+5y+6z=15 avec les plans de coordonnées du repère Oıȷk.

    Déterminons les coordonnées des points d'intersection du plan (P) avec les axes du repère Oıȷk :

    • Le point Ax00 est le point d'intersection du plan (P) avec l'axe des abscisses. Ses coordonnées vérifient l'équation de (P) d'où 5x+5×0+6×0=15Soitx=3 Donc les coordonnées du point A sont A300.

    • Le point B0y0 est le point d'intersection du plan (P) avec l'axe des ordonnées. Ses coordonnées vérifient l'équation de (P) d'où 5×0+5y+6×0=15Soity=3 Donc les coordonnées du point B sont B030.

    • Le point C00z est le point d'intersection du plan (P) avec l'axe des cotes. Ses coordonnées vérifient l'équation de (P) d'où 5×0+5×0+6z=15Soitz=2,5 Donc les coordonnées du point C sont C002,5.

    Les coordonnées des points d'intersection du plan (P) avec les axes sont : A300, B030 et C002,5.

    D'où la représentation du plan (P) par ses traces sur les plans de coordonnées.

    Traces du plan P : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

  2. On considère le plan (Q) d'équation 3x+4y=6.

    1. Préciser la nature de l'ensemble Δ des points Mxyz de l'espace dont les coordonnées vérifient {5x+5y+6z=153x+4y=6

      L'ensemble Δ des points Mxyz de l'espace dont les coordonnées vérifient le système   {5x+5y+6z=153x+4y=6 est l'intersection des plans (P) et (Q).

      Or le plan (Q) est parallèle à l'axe (Oz) et le plan (P) coupe l'axe (Oz) au point C002,5 donc ces deux plans sont sécants en une droite.

      Ainsi, Δ est la droite caractérisée par le système d'équations {5x+5y+6z=153x+4y=6.


    2. Représenter l'ensemble Δ dans le repère Oıȷk.

      Le plan (Q)  est parallèle à l'axe (Oz). Les coordonnées des points d'intersection du plan (Q) avec les axes sont A200 et B01,50.

      Le plan (P) est représenté ci-dessous en bleu et les traces du plan (Q) sont en vert. Δ est la droite d'intersection des plans (P) et (Q).

      Droite d'intersection des deux plans : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  3. On donne les points D100, E0-30 et F-1-34.

    1. Montrer que les points D, E et F déterminent un plan.

      Les coordonnées des vecteurs DE-1-30 et DF-2-34 ne sont pas proportionnelles ; donc les vecteurs DE et DF ne sont pas colinéaires et les points D, E et F ne sont pas alignés.

      Les points D, E et F déterminent un plan.


    2. Déterminer une équation du plan (R) qui contient les points D, E, F.

      • méthode 1

        Une équation cartésienne du plan (R) est de la forme ax+by+cz=d avec abc000 . Or Les points D, E et F déterminent le plan (R). Par conséquent, leurs coordonnées vérifient l'équation du plan. D100Ra=d;E0-30R-3b=d;F-1-34R-a-3b+4c=d

        Ainsi a, b et c sont solutions du système : {a=d-3b=d-a-3b+4c=d{a=db=-d3c=d4

        En choisissant d=1 on trouve a=1, b=-13 et c=14. En choisissant d=12 on trouve a=12, b=-4 et c=3

        Ainsi, une équation du plan (R) est x-y3+z4=1 ou encore 12x-4y+3z=12.


      • méthode 2

        Le plan (R) est l'ensemble des points Mxyz tels que les points D, E, F et M sont coplanaires. C'est à dire, qu'il existe deux réels α et β tels que DM=αDE+βDF. Avec DMx-1yz, DE-1-30 et DF-2-34 . D'où les coordonnées du point Mxyz vérifient le système {x-1=-α-2βy=-3α-3βz=4β{x+z2=-α+1y+3z4=-3αz4=βOn exprime  β  en fonction de  z  et on reporte cette valeur dans les deux lignes précédentes {x+z2-y3-z4=1-y3-z4=αOn exprime  α  en fonction de  z et y  et on reporte cette valeur dans la ligne précédente z4=β{x-y3+z4=1On obtient ainsi, une relation entre xy et z indépendante de α et β-y3-z4=αz4=β

        Ainsi, une équation du plan (R) est x-y3+z4=1 ou encore 12x-4y+3z=12.


    3. Représenter l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) dans le repère Oıȷk.

      Les points d'intersection du plan (R) avec les axes du repère sont D100, E0-30 et G004

      On trace la droite d intersection des plans (P) et (R). La droite d passe par le point d'intersection des droites AC et DG d'une part et par le point d'intersection des droites AB et ED d'autre part.

      Intersection des trois plans : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Les droites d et Δ sont dans le même plan (P) elles sont sécantes en un point S intersection des trois plans (P), (Q) et (R)


  4. Résoudre le système suivant et en donner une interprétation graphique. {12x-4y+3z=125x+5y+6z=153x+4y=6

    • méthode 1

      Résolution du système par combinaisons linéaires successives : {12x-4y+3z=125x+5y+6z=153x+4y=6{12x-4y+3z=1219x-13y=93x+4y=6On élimine z dans L2 en utilisant L1 : L22×L1-L2{12x-4y+3z=12115x=1143x+4y=6On élimine y dans L2 en utilisant L3 : L24×L1+13×L3{12x-4y+3z=123×114115+4y=6x=114115{12×114115-4×87115+3z=12y=87115x=114115{z=2423y=87115x=114115 Le système admet pour solution le triplet 114115871152423.

    • méthode 2

      Résolution du système {12x-4y+3z=125x+5y+6z=153x+4y=6 à l'aide des matrices :

      Posons A=12-43556340, X=xyz et B=12156Le systèmes'écrit sous forme matricielle : AX=B

      Or la matrice A est inversible et l'inverse de la matrice A obtenue à la calculatrice est : A-1=8115-411513115-6115311519115-169423-1669

      Donc AX=BA-1AX=A-1BX=A-1B Soit xyz=8115-411513115-6115311519115-169423-1669×12156=114115871152423

      Le système admet donc pour solution le triplet 114115871152423.

    Les trois plans (P), (Q) et (R) se coupent en un point S de coordonnées S114115871152423.



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