contrôle du 06 octobre 2009

Corrigé de l'exercice 1

L'espace est muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ représenté en annexe ci-dessous.

1. Tracer les droites d'intersection du plan (P) d'équation $5x+5y+6z=15$ avec les plans de coordonnées du repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

   Déterminons les coordonnées des points d'intersection du plan (P) avec les axes du repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$ :

   • Le point $A\left(x;0;0\right)$ est le point d'intersection du plan (P) avec l'axe des abscisses. Ses coordonnées vérifient l'équation de (P) d'où $$\begin{array}{ccc}5x+5\times 0+6\times 0=15& \text{Soit}& x=3\end{array}$$ Donc les coordonnées du point A sont $A\left(3;0;0\right)$.

   • Le point $B\left(0;y;0\right)$ est le point d'intersection du plan (P) avec l'axe des ordonnées. Ses coordonnées vérifient l'équation de (P) d'où $$\begin{array}{ccc}5\times 0+5y+6\times 0=15& \text{Soit}& y=3\end{array}$$ Donc les coordonnées du point B sont $B\left(0;3;0\right)$.

   • Le point $C\left(0;0;z\right)$ est le point d'intersection du plan (P) avec l'axe des cotes. Ses coordonnées vérifient l'équation de (P) d'où $$\begin{array}{ccc}5\times 0+5\times 0+6z=15& \text{Soit}& z=\mathrm{2,5}\end{array}$$ Donc les coordonnées du point C sont $C\left(0;0;\mathrm{2,5}\right)$.

   Les coordonnées des points d'intersection du plan (P) avec les axes sont : $A\left(3;0;0\right)$, $B\left(0;3;0\right)$ et $C\left(0;0;\mathrm{2,5}\right)$.

   D'où la représentation du plan (P) par ses traces sur les plans de coordonnées.

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2. On considère le plan (Q) d'équation $3x+4y=6$.

   1. Préciser la nature de l'ensemble Δ des points $M\left(x;y;z\right)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient $\{\begin{array}{rrr}5x+5y+6z& =& 15\\ 3x+4y& =& 6\end{array}$

      L'ensemble Δ des points $M\left(x;y;z\right)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient le système   $\{\begin{array}{rrr}5x+5y+6z& =& 15\\ 3x+4y& =& 6\end{array}$ est l'intersection des plans (P) et (Q).

      Or le plan (Q) est parallèle à l'axe (Oz) et le plan (P) coupe l'axe (Oz) au point $C\left(0;0;\mathrm{2,5}\right)$ donc ces deux plans sont sécants en une droite.

      Ainsi, Δ est la droite caractérisée par le système d'équations $\{\begin{array}{rrr}5x+5y+6z& =& 15\\ 3x+4y& =& 6\end{array}$.

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   2. Représenter l'ensemble Δ dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

      Le plan (Q)  est parallèle à l'axe (Oz). Les coordonnées des points d'intersection du plan (Q) avec les axes sont $A\prime \left(2;0;0\right)$ et $B\prime \left(0;\mathrm{1,5};0\right)$.

      Le plan (P) est représenté ci-dessous en bleu et les traces du plan (Q) sont en vert. Δ est la droite d'intersection des plans (P) et (Q).

3. On donne les points $D\left(1;0;0\right)$, $E\left(0;-3;0\right)$ et $F\left(-1;-3;4\right)$.

   1. Montrer que les points D, E et F déterminent un plan.

      Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{DE}\left(-1;-3;0\right)$ et $\overrightarrow{DF}\left(-2;-3;4\right)$ ne sont pas proportionnelles ; donc les vecteurs $\overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{DF}$ ne sont pas colinéaires et les points D, E et F ne sont pas alignés.

      Les points D, E et F déterminent un plan.

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   2. Déterminer une équation du plan (R) qui contient les points D, E, F.

      • méthode 1

        Une équation cartésienne du plan (R) est de la forme $ax+by+cz=d$ avec $\left(a;b;c\right)\ne \left(0;0;0\right)$ . Or Les points D, E et F déterminent le plan (R). Par conséquent, leurs coordonnées vérifient l'équation du plan. $$\begin{array}{ccccc}D\left(1;0;0\right)\in \left(R\right)\iff a=d& \text{;}& E\left(0;-3;0\right)\in \left(R\right)\iff -3b=d& \text{;}& F\left(-1;-3;4\right)\in \left(R\right)\iff -a-3b+4c=d\end{array}$$

        Ainsi a, b et c sont solutions du système : $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rrr}a& =& d\\ -3b& =& d\\ -a-3b+4c& =& d\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}a& =& d\\ b& =& -{\displaystyle \frac{d}{3}}\\ c& =& {\displaystyle \frac{d}{4}}\end{array}\end{array}$$

        En choisissant $d=1$ on trouve $a=1$, $b=-{\displaystyle \frac{1}{3}}$ et $c={\displaystyle \frac{1}{4}}$. En choisissant $d=12$ on trouve $a=12$, $b=-4$ et $c=3$

        Ainsi, une équation du plan (R) est $x-{\displaystyle \frac{y}{3}}+{\displaystyle \frac{z}{4}}=1$ ou encore $12x-4y+3z=12$.

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      • méthode 2

        Le plan (R) est l'ensemble des points $M\left(x;y;z\right)$ tels que les points D, E, F et M sont coplanaires. C'est à dire, qu'il existe deux réels α et β tels que $\overrightarrow{DM}=\alpha \overrightarrow{DE}+\beta \overrightarrow{DF}$. Avec $\overrightarrow{DM}\left(x-1;y;z\right)$, $\overrightarrow{DE}\left(-1;-3;0\right)$ et $\overrightarrow{DF}\left(-2;-3;4\right)$ . D'où les coordonnées du point $M\left(x;y;z\right)$ vérifient le système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rrr}x-1& =& -\alpha -2\beta \\ y& =& -3\alpha -3\beta \\ z& =& 4\beta \end{array}& \iff & \{\begin{array}{rclr}x+{\displaystyle \frac{z}{2}}& =& -\alpha +1& \\ y+{\displaystyle \frac{3z}{4}}& =& -3\alpha & \\ {\displaystyle \frac{z}{4}}& =& \beta & \hfill \text{On exprime }\beta \text{ en fonction de }z\text{ et on reporte cette valeur dans les deux lignes précédentes}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rclr}x+{\displaystyle \frac{z}{2}}-{\displaystyle \frac{y}{3}}-{\displaystyle \frac{z}{4}}& =& 1& \\ -{\displaystyle \frac{y}{3}}-{\displaystyle \frac{z}{4}}& =& \alpha & \hfill \text{On exprime }\alpha \text{ en fonction de }z\text{ et }y\text{ et on reporte cette valeur dans la ligne précédente}\\ {\displaystyle \frac{z}{4}}& =& \beta & \end{array}\hfill \\ & \iff & \{\begin{array}{rclr}x-{\displaystyle \frac{y}{3}}+{\displaystyle \frac{z}{4}}& =& 1& \hfill \text{On obtient ainsi, une relation entre }x\text{, }y\text{ et }z\text{ indépendante de }\alpha \text{ et }\beta \\ -{\displaystyle \frac{y}{3}}-{\displaystyle \frac{z}{4}}& =& \alpha & \\ {\displaystyle \frac{z}{4}}& =& \beta & \end{array}\hfill \end{array}$$

        Ainsi, une équation du plan (R) est $x-{\displaystyle \frac{y}{3}}+{\displaystyle \frac{z}{4}}=1$ ou encore $12x-4y+3z=12$.

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   3. Représenter l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

      Les points d'intersection du plan (R) avec les axes du repère sont $D\left(1;0;0\right)$, $E\left(0;-3;0\right)$ et $G\left(0;0;4\right)$

      On trace la droite d intersection des plans (P) et (R). La droite d passe par le point d'intersection des droites $\left(AC\right)$ et $\left(DG\right)$ d'une part et par le point d'intersection des droites $\left(AB\right)$ et $\left(ED\right)$ d'autre part.

      Les droites d et Δ sont dans le même plan (P) elles sont sécantes en un point S intersection des trois plans (P), (Q) et (R)

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4. Résoudre le système suivant et en donner une interprétation graphique. $\{\begin{array}{rrr}12x-4y+3z& =& 12\\ 5x+5y+6z& =& 15\\ 3x+4y& =& 6\end{array}$

   • méthode 1

     Résolution du système par combinaisons linéaires successives : $$\begin{array}{llll}\{\begin{array}{rrr}12x-4y+3z& =& 12\\ 5x+5y+6z& =& 15\\ 3x+4y& =& 6\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}12x-4y+3z& =& 12\\ 19x-13y& =& 9\\ 3x+4y& =& 6\end{array}& \text{On élimine }z\text{ dans }{\mathrm{L}}_2\text{ en utilisant }{\mathrm{L}}_1\text{ : }{\mathrm{L}}_2\leftarrow 2\times {\mathrm{L}}_1-{\mathrm{L}}_2\\ & \iff & \{\begin{array}{rrr}12x-4y+3z& =& 12\\ 115x& =& 114\\ 3x+4y& =& 6\end{array}& \text{On élimine }y\text{ dans }{\mathrm{L}}_2\text{ en utilisant }{\mathrm{L}}_3\text{ : }{\mathrm{L}}_2\leftarrow 4\times {\mathrm{L}}_1+13\times {\mathrm{L}}_3\\ & \iff & \{\begin{array}{rrr}12x-4y+3z& =& 12\\ 3\times {\displaystyle \frac{114}{115}}+4y& =& 6\\ x& =& {\displaystyle \frac{114}{115}}\end{array}& \iff \{\begin{array}{rrr}12\times {\displaystyle \frac{114}{115}}-4\times {\displaystyle \frac{87}{115}}+3z& =& 12\\ y& =& {\displaystyle \frac{87}{115}}\\ x& =& {\displaystyle \frac{114}{115}}\end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rrr}z& =& {\displaystyle \frac{24}{23}}\\ y& =& {\displaystyle \frac{87}{115}}\\ x& =& {\displaystyle \frac{114}{115}}\end{array}& \end{array}$$ Le système admet pour solution le triplet ${\displaystyle \left({\displaystyle \frac{114}{115}};{\displaystyle \frac{87}{115}};{\displaystyle \frac{24}{23}}\right)}$.

   • méthode 2

     Résolution du système $\{\begin{array}{rrr}12x-4y+3z& =& 12\\ 5x+5y+6z& =& 15\\ 3x+4y& =& 6\end{array}$ à l'aide des matrices :

     Posons $A=\left(\begin{array}{ccc}12& -4& 3\\ 5& 5& 6\\ 3& 4& 0\end{array}\right)$, $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)$ et $B=\left(\begin{array}{c}12\\ 15\\ 6\end{array}\right)$Le systèmes'écrit sous forme matricielle : $$AX=B$$

     Or la matrice A est inversible et l'inverse de la matrice A obtenue à la calculatrice est : $$A^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{8}{115}}& -{\displaystyle \frac{4}{115}}& {\displaystyle \frac{13}{115}}\\ -{\displaystyle \frac{6}{115}}& {\displaystyle \frac{3}{115}}& {\displaystyle \frac{19}{115}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{69}}& {\displaystyle \frac{4}{23}}& -{\displaystyle \frac{16}{69}}\end{array}\right)$$

     Donc $$\begin{array}{ccccc}AX=B& \iff & A^{-1}AX=A^{-1}B& \iff & X=A^{-1}B\end{array}$$ Soit $$\begin{array}{lllll}\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{8}{115}}& -{\displaystyle \frac{4}{115}}& {\displaystyle \frac{13}{115}}\\ -{\displaystyle \frac{6}{115}}& {\displaystyle \frac{3}{115}}& {\displaystyle \frac{19}{115}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{69}}& {\displaystyle \frac{4}{23}}& -{\displaystyle \frac{16}{69}}\end{array}\right)\times \left(\begin{array}{c}12\\ 15\\ 6\end{array}\right)& =& \left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{114}{115}}\\ {\displaystyle \frac{87}{115}}\\ {\displaystyle \frac{24}{23}}\end{array}\right)\end{array}$$

     Le système admet donc pour solution le triplet ${\displaystyle \left({\displaystyle \frac{114}{115}};{\displaystyle \frac{87}{115}};{\displaystyle \frac{24}{23}}\right)}$.

   Les trois plans (P), (Q) et (R) se coupent en un point S de coordonnées $S\left({\displaystyle \frac{114}{115}};{\displaystyle \frac{87}{115}};{\displaystyle \frac{24}{23}}\right)$.

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