contrôles Spécialité en terminale ES

contrôle du 06 octobre 2009

thème :

Géométrie dans l'espace, équations de plans.

exercice 1

L'espace est muni d'un repère orthonormal $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ représenté en annexe ci-dessous.

Tracer les droites d'intersection du plan (P) d'équation $5 x + 5 y + 6 z = 15$ avec les plans de coordonnées du repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ .
On considère le plan (Q) d'équation $3 x + 4 y = 6$ .
1. Préciser la nature de l'ensemble Δ des points $M (x; y; z)$ de l'espace dont les coordonnées vérifient : ${\begin{array}{r} 5 x + 5 y + 6 z & = & 15 \\ 3 x + 4 y & = & 6 \end{array}$
2. Représenter l'ensemble Δ dans le repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ .
On donne les points $D (1; 0; 0)$ , $E (0; - 3; 0)$ et $F (- 1; - 3; 4)$ .
1. Montrer que les points D, E et F déterminent un plan.
2. Déterminer une équation du plan (R) qui contient les points D, E, F.
3. Représenter l'intersection des trois plans (P), (Q) et (R) dans le repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ .
Résoudre le système suivant et en donner une interprétation graphique. ${\begin{array}{r} 12 x - 4 y + 3 z & = & 12 \\ 5 x + 5 y + 6 z & = & 15 \\ 3 x + 4 y & = & 6 \end{array}$

exercice 2

La figure ci-dessous, représente un pavé droit ABCDEFGH dans l'espace muni d'un repère orthonormal $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ . Les coordonnées des points A, B et G sont $A (5; - 3; 0)$ , $B (5; 5; 0)$ et $G (0; 5; 5)$ .
M est le point d'intersection du segment [AB] avec l'axe des abscisses, N est le point d'intersection du segment [HG] avec l'axe des cotes.

1. Les points A, B, G et H sont-ils coplanaires ?
2. Déterminer une équation du plan (ABG).
3. Les points M et N appartiennent-ils au plan (ABG) ?
4. Préciser la nature de l'ensemble $𝒟$ des points de l'espace dont les coordonnées vérifient le système : ${\begin{array}{r} y & = & 0 \\ x + z & = & 5 \end{array}$ Représenter l'ensemble 𝒟 dans le repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ .
1. Quel ensemble de points de l'espace a pour équation $x = 5$ ?
2. Déterminer une équation du plan (EBH).
3. En déduire un système d'équations qui caractérise la droite (EB).
4. Déterminer un système d'équations qui caractérise la droite (CH).
Les droites (MN) et (CH) sont-elles sécantes ? (Justifiez)

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