contrôle du 06 octobre 2009

Corrigé de l'exercice 2

La figure ci-dessous, représente un pavé droit ABCDEFGH dans l'espace muni d'un repère orthonormal $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$. Les coordonnées des points A, B et G sont $A\left(5;-3;0\right)$, $B\left(5;5;0\right)$ et $G\left(0;5;5\right)$.
M est le point d'intersection du segment [AB] avec l'axe des abscisses, N est le point d'intersection du segment [HG] avec l'axe des cotes.

1. 1. Les points A, B, G et H sont-ils coplanaires ?

      Les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{BG}$ sont $$\begin{array}{ccc}\overrightarrow{AH}\left(-5;0;5\right)& \text{et}& \overrightarrow{BG}\left(-5;0;5\right)\end{array}$$

      $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{BG}$ donc les points A, B, G et H sont dans un même plan ( ABGH est un parallélogramme)

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   2. Déterminer une équation du plan (ABG).

      Une équation cartésienne du plan(ABG) est de la forme $ax+by+cz=d$ avec $\left(a;b;c\right)\ne \left(0;0;0\right)$ . Les coordonnées des points A, B et G vérifient l'équation du plan. $$\begin{array}{ccccc}A\left(5;-3;0\right)\in \left(ABG\right)\iff 5a-3b=d& \text{;}& B\left(5;5;0\right)\in \left(ABG\right)\iff 5a+5b=d& \text{;}& G\left(0;5;5\right)\in \left(ABG\right)\iff 5b+5c=d\end{array}$$

      Ainsi a, b et c sont solutions du système : $$\begin{array}{ccccc}\{\begin{array}{rrr}5a-3b& =& d\\ 5a+5b& =& d\\ 5b+5c& =& d\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}8b& =& 0\\ 5a+5b& =& d\\ 5b+5c& =& d\end{array}& \iff & \{\begin{array}{rrr}a& =& {\displaystyle \frac{d}{5}}\\ b& =& 0\\ c& =& {\displaystyle \frac{d}{5}}\end{array}\end{array}$$

      En choisissant $d=5$ on trouve $a=1$ et $c=1$

      Ainsi, une équation du plan (ABG) est $x+z=5$ . (ABG) est un plan parallèle à l'axe des ordonnées (Oy).

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   3. Les points M et N appartiennent-ils au plan (ABG) ?

      M est le point d'intersection du segment [AB] avec l'axe des abscisses, les coordonnées du point M sont $M\left(5;0;0\right)$.
      N est le point d'intersection du segment [HG] avec l'axe des cotes, les coordonnées du point N sont $N\left(0;0;5\right)$.

      Les coordonnées des points M et N vérifient l'équation du plan (ABG) donc les points M et N appartiennent au plan (ABG).
      M est le point d'intersection du plan (ABG) avec l'axe des abscisses et N est le point d'intersection du plan (ABG) avec l'axe des cotes.

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   4. Préciser la nature de l'ensemble $𝒟$ des points de l'espace dont les coordonnées vérifient le système $\{\begin{array}{rrr}y& =& 0\\ x+z& =& 5\end{array}$
      Représenter l'ensemble 𝒟 dans le repère $\left(\mathrm{O};\overrightarrow{𝚤},\overrightarrow{𝚥},\overrightarrow{k}\right)$.

      L'ensemble 𝒟 des points de l'espace dont les coordonnées vérifient le système   $\{\begin{array}{rrr}y& =& 0\\ x+z& =& 5\end{array}$ est l'intersection du plan (ABG) avec le plan de base (xOz).

      Ainsi, 𝒟 est la droite (MN).

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2. 1. Quel ensemble de points de l'espace a pour équation $x=5$ ?

      $x=5$ est l'équation du plan parallèle au plan de base (xOz) et qui coupe l'axe des abscisses au point $M\left(5;0;0\right)$.

      $x=5$ est l'équation du plan (ABE)

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   2. Déterminer une équation du plan (EBH).

      Le plan (EBH) est l'ensemble des points $X\left(x;y;z\right)$ tels que les points E, B, H et X sont coplanaires. C'est à dire, qu'il existe deux réels α et β tels que $\overrightarrow{EX}=\alpha \overrightarrow{EB}+\beta \overrightarrow{EH}$. Avec $\overrightarrow{EX}\left(x-5;y+3;z-5\right)$, $\overrightarrow{EB}\left(0;8;-5\right)$ et $\overrightarrow{EH}\left(-5;0;0\right)$ . D'où les coordonnées du point $X\left(x;y;z\right)$ vérifient le système $$\begin{array}{ccc}\{\begin{array}{rrr}x-5& =& -5\beta \\ y+3& =& 8\alpha \\ z-5& =& -5\alpha \end{array}& \iff & \{\begin{array}{rclr}{\displaystyle \frac{5-x}{5}}& =& \beta & \\ {\displaystyle \frac{y+3}{8}}& =& \alpha & \hfill \text{On exprime }\alpha \text{ en fonction de }y\text{ et on reporte cette valeur dans la ligne suivante}\\ z-5& =& -5\times {\displaystyle \frac{y+3}{8}}& \end{array}\\ & \iff & \{\begin{array}{rclr}{\displaystyle \frac{5-x}{5}}& =& \beta & \\ {\displaystyle \frac{y+3}{8}}& =& \alpha & \\ 5y+8z& =& 25& \hfill \text{On obtient une relation entre }y\text{ et }z\text{ indépendante de }\alpha \text{ et }\beta \end{array}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, une équation du plan (EBH) est $5y+8z=25$ . (EBH) est un plan parallèle à l'axe des abscisses (Ox).

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   3. En déduire un système d'équations qui caractérise la droite (EB).

      La droite (EB) est la droite d'intersection du plan (EBH) avec le plan (ABE).

      La droite (EB) est caractérisée par le système d'équations : $$\{\begin{array}{rrr}x& =& 5\\ 5y+8z& =& 25\end{array}$$

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   4. Déterminer un système d'équations qui caractérise la droite (CH).

      $\overrightarrow{EH}=\overrightarrow{BC}$ donc C est un point du plan (EBH).Par conséquent, la droite (CH) est la droite d'intersection du plan (EBH) avec le plan de base (yOz).

      La droite (CH) est caractérisée par le système d'équations : $$\{\begin{array}{rrr}x& =& 0\\ 5y+8z& =& 25\end{array}$$

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3. Les droites (MN) et (CH) sont-elles sécantes ? (Justifiez)

   (CH) est une droite du plan de base (yOz) et la droite (MN) coupe ce plan au point $N\left(0;0;5\right)$ . Or N n'appartient pas à la droite (CH). Donc

   Les droites (MN) et (CH) ne sont pas sécantes.

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   remarque

   Le système $\{\begin{array}{rrr}y& =& 0\\ x+z& =& 5\\ x& =& 0\\ 5y+8z& =& 25\end{array}$ n'a pas de solution donc les droites (MN) et (CH) ne sont pas sécantes.

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