contrôles en terminale ES

contrôle du 10 décembre 2011

Corrigé de l'exercice 2

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

f est définie sur $ℝ$ par $f (x) = 3 x^{2} + 2 x - 1$ et $F (- 2) = 0$ .
D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $F (x) = 3 \times \frac{x^{3}}{3} + 2 \times \frac{x^{2}}{2} - x + c \Leftrightarrow F (x) = x^{3} + x^{2} - x + c$
Or $F (- 2) = 0$ d'où $- 8 + 4 + 2 + c = 0 \Leftrightarrow c = 2$
Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F (- 2) = 0$ est la fonction définie sur $ℝ$ par $F (x) = x^{3} + x^{2} - x + 2$ .
f est définie sur $] 0; + \infty [$ par $f (x) = x - \frac{3}{x^{3}}$ et $F (- 1) = 1$ .
D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, $F (x) = \frac{x^{2}}{2} - 3 \times (- \frac{1}{2 x^{2}}) + c \Leftrightarrow F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2 x^{2}} + c$
Or $F (- 1) = 1$ d'où $\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + c = 1 \Leftrightarrow c = - 1$
Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F (- 1) = 1$ est la fonction définie sur $] 0; + \infty [$ par $F (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3}{2 x^{2}} - 1$ .
f est définie sur l'intervalle $] - \frac{1}{2}; + \infty [$ par $f (x) = \frac{4}{{(2 x + 1)}^{3}}$ et $F (0) = 1$ .
Pour tout réel x appartenant à l'intervalle $] - \frac{1}{2}; + \infty [$ , posons $u (x) = 2 x + 1$ d'où $u' (x) = 2$ .
Alors, $f = 2 \times \frac{u'}{u^{3}}$ d'où $F = 2 \times (- \frac{1}{2 u^{2}})$ . Soit pour tout réel $x > - \frac{1}{2}$ , $F (x) = - \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}} + c$
Or $F (0) = 1$ d'où $- 1 + c = 1 \Leftrightarrow c = 2$
Ainsi, la primitive F de la fonction f telle que $F (0) = 1$ est la fonction définie sur $] - \frac{1}{2}; + \infty [$ par $F (x) = 2 - \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$ .

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