contrôles en terminale ES

contrôle du 10 décembre 2011

Corrigé de l'exercice 4

Une entreprise produit et commercialise un article A. Sa production mensuelle, est limitée à 12 milliers d'articles.

partie i : Étude du coût total de production

Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction Cm définie pour les nombres réels x de l'intervalle [0;12] par :Cm(x)=3x2-30x+78Cm(x) est exprimé en milliers d'euros, x en milliers.
Le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production.

  1. Déterminer la fonction CT définie sur l'intervalle [0;12] qui modélise le coût total de production, sachant que les coûts fixes s'élèvent à 64 000 € (soit CT(0)=64).

    Le coût marginal de production correspondant à la dérivée du coût total de production, CT est la primitive de la fonction Cm telle que CT(0)=64.

    D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles, CT(x)=3×x33-30×x22+78x+cCT(x)=x3-15x2+78x+c

    Or CT(0)=64 d'où c=64.

    La fonction qui modélise le coût total de production est la fonction CT définie sur l'intervalle [0;12] par CT(x)=x3-15x2+78x+64.


  2. Étudier les variations de la fonction CT.

    Les variations de la fonction CT se déduisent du signe de sa dérivée Cm.

    Étudions le signe du trinôme 3x2-30x+78 avec a=3, b=-30 et c=78.
    Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=900-4×3×78=-36

    Δ<0 donc pour tout réel x, 3x2-30x+78>0

    Pour tout réel x[0;12], Cm(x)>0 donc la fonction CT est strictement croissante.


  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ représentative de la fonction CT au point d'abscisse 8.
    Tracer cette tangente sur le graphique ci-dessous.

    La tangente à la courbe Γ au point d'abscisse 8 a pour équation : y=Cm(8)(x-8)+CT(8)

    Or Cm(8)=3×64-30×8+78=30etCT(8)=512-15×64+78×8+64=240

    D'où une équation de la tangente :y=30(x-8)+240y=30x

    La tangente à la courbe Γ au point d'abscisse 8 a pour équation y=30x.


    Courbe représentative de la fonction coût total : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie b : Étude du coût moyen

Le coût moyen de production d'un article est fonction de la quantité x d'articles produits.
On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d'un article est égal à f(x), où f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;12] par :f(x)=x3-15x2+78x+64x

    1. Calculer limx0f(x). Interpréter graphiquement le résultat.

      limx0x3-15x2+78x+64=64 donc limx0x3-15x2+78x+64x=+

      limx0f(x)=+ donc la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote l'axe des ordonnées.


    2. On note f la dérivée de la fonction f . Montrer que f(x)=(x-8)(2x2+x+8)x2

      f=uv d'où f=uv-uvv2 avec pour tout réel x]0;12] : {u(x)=x3-15x2+78x+64 d'où u(x)=3x2-30x+78 et v(x)=x d'où v(x)=1

      Soit pour tout réel x]0;12], f(x)=(3x2-30x+78)×x-(x3-15x2+78x+64)x2=3x3-30x2+78x-x3+15x2-78x-64x2=2x3-15x2-64x2

      Or pour tout réel x, (x-8)(2x2+x+8)=2x3+x2+8x-16x2-8x-64=2x3-15x2-64

      Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur l'intervalle ]0;12] par f(x)=(x-8)(2x2+x+8)x2.


    3. Étudier le signe de f(x) sur l'intervalle ]0;12] puis, dresser le tableau des variations de la fonction x.

      Étudions le signe du trinôme 2x2+x+8 avec a=2, b=1 et c=8.
      Le discriminant du trinôme est : Δ=1-4×2×8=-63

      Δ<0 donc pour tout réel x, 2x2+x+8>0.

      Par conséquent, sur l'intervalle ]0;12], f(x) est du même signe que (x-8).

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de la fonction f :

      x0 8 12
      f(x)  0||+ 
      f(x)  

      +

      fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      30

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

      calcul du minimum :

      La fonction f admet un minimum relatif en 8 et f(8)=2408=30

  1. Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si le prix de vente d'un article est inférieur à 30 €.

    D'après l'étude précédente, le coût moyen minimal de production d'un article est de 30 € donc quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si le prix de vente d'un article est inférieur à 30 €.



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