Une entreprise produit et commercialise un article A. Sa production mensuelle, est limitée à 12 milliers d'articles.
Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction définie pour les nombres réels x de l'intervalle par : est exprimé en milliers d'euros, x en milliers.
Le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production.
Déterminer la fonction définie sur l'intervalle qui modélise le coût total de production, sachant que les coûts fixes s'élèvent à 64 000 € (soit ).
Le coût marginal de production correspondant à la dérivée du coût total de production, est la primitive de la fonction telle que .
D'après les formules donnant les primitives des fonctions usuelles,
Or d'où .
La fonction qui modélise le coût total de production est la fonction définie sur l'intervalle par .
Étudier les variations de la fonction .
Les variations de la fonction se déduisent du signe de sa dérivée .
Étudions le signe du trinôme avec , et .
Le discriminant du trinôme est d'où :
donc pour tout réel x,
Pour tout réel , donc la fonction est strictement croissante.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ représentative de la fonction au point d'abscisse 8.
Tracer cette tangente sur le graphique ci-dessous.
La tangente à la courbe Γ au point d'abscisse 8 a pour équation :
Or
D'où une équation de la tangente :
La tangente à la courbe Γ au point d'abscisse 8 a pour équation .
Le coût moyen de production d'un article est fonction de la quantité x d'articles produits.
On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d'un article est égal à , où f est la fonction définie sur l'intervalle par :
Calculer . Interpréter graphiquement le résultat.
donc
donc la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote l'axe des ordonnées.
On note la dérivée de la fonction f . Montrer que
d'où avec pour tout réel :
Soit pour tout réel ,
Or pour tout réel x,
Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction définie sur l'intervalle par .
Étudier le signe de sur l'intervalle puis, dresser le tableau des variations de la fonction x.
Étudions le signe du trinôme avec , et .
Le discriminant du trinôme est :
donc pour tout réel x, .
Par conséquent, sur l'intervalle , est du même signe que .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée d'où le tableau des variations de la fonction f :
x | 0 | 8 | 12 | ||||
– | + | ||||||
30 |
calcul du minimum :
La fonction f admet un minimum relatif en 8 et
Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si le prix de vente d'un article est inférieur à 30 €.
D'après l'étude précédente, le coût moyen minimal de production d'un article est de 30 € donc quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si le prix de vente d'un article est inférieur à 30 €.
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