contrôle du 10 décembre 2011

exercice 1

Dans chacun des cas suivants, calculer une primitive F de la fonction f :

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2x^3-{\displaystyle \frac{1}{2}}$.

2. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x^2}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}$.

3. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=3x{\left(x^2-1\right)}^2$.

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exercice 2

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

1. f est définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=3x^2+2x-1$ et $F\left(-2\right)=0$.

2. f est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x-{\displaystyle \frac{3}{x^3}}$ et $F\left(-1\right)=1$.

3. f est définie sur l'intervalle $\left]-{\displaystyle \frac{1}{2}};+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{4}{{\left(2x+1\right)}^3}}$ et $F\left(0\right)=1$.

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exercice 3

D'après sujet bac Amérique du Sud Novembre 2011

Dans un cadre économique, on appelle fonction de satisfaction une fonction f définie et dérivable sur une partie de $ℝ$ et à valeurs dans l'intervalle $\left[0;100\right]$.
On dit qu'il y a « saturation » lorsque la fonction de satisfaction prend la valeur 100.
La fonction v, dérivée de la fonction f, est appelée fonction « envie ». On a donc $v=f\prime$.
On dit qu'il y a « envie » lorsque v est positive, sinon on dit qu'il y a « rejet ».

Charlotte doit rédiger un mémoire de recherche. Elle souhaite connaître la durée quotidienne de travail qui lui convient le mieux, sachant qu'elle a la possibilité d'y consacrer entre 0 et 8 heures par jour.
En début de journée, elle est de plus en plus efficace, mais après un certain temps sa productivité ne la satisfait plus.
Elle modélise son taux de satisfaction en fonction du nombre d'heures x passées quotidiennement à travailler.

La courbe représentant sa satisfaction f est donnée ci-dessous.
La tangente à cette courbe au point d'abscisse 4 est parallèle à l'axe des abscisses.
La courbe passe par l'origine du repère et la tangente en ce point passe par le point de coordonnées $\left(1;50\right)$.

1. Par lecture graphique répondre aux questions suivantes :

   1. Pour quelle durée de travail quotidien y a-t-il « saturation » ?

   2. Sur quel intervalle y a-t-il « envie » ?

   3. Sur quel intervalle y a-t-il « rejet » ?

   4. Donner $v\left(4\right)$.

2. On admettra que la fonction v est ici une fonction affine définie sur l'intervalle $\left[0;8\right]$.
   Expliquer pourquoi son expression est : $v\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{25}{2}}x+50$.

3. Sachant que $f\left(0\right)=0$, déterminer $f\left(x\right)$ pour $x\in \left[0;8\right]$.

4. En déduire les valeurs de x pour lesquelles la satisfaction prend la valeur 75.

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exercice 4

Une entreprise produit et commercialise un article A. Sa production mensuelle, est limitée à 12 milliers d'articles.

partie i : Étude du coût total de production

Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction $C_m$ définie pour les nombres réels x de l'intervalle $\left[0;12\right]$ par :$$C_m\left(x\right)=3x^2-30x+78$$$C_m\left(x\right)$ est exprimé en milliers d'euros, x en milliers.

Le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production.

1. Déterminer la fonction $C_T$ définie sur l'intervalle $\left[0;12\right]$ qui modélise le coût total de production, sachant que les coûts fixes s'élèvent à 64 000 € (soit $C_T\left(0\right)=64$).

2. Étudier les variations de la fonction $C_T$.

3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ représentative de la fonction $C_T$ au point d'abscisse 8.
   Tracer cette tangente sur le graphique ci-dessous.

partie b : Étude du coût moyen

Le coût moyen de production d'un article est fonction de la quantité x d'articles produits.
On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d'un article est égal à $f\left(x\right)$, où f est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;12\right]$ par :$$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3-15x^2+78x+64}{x}}$$

1. 1. Calculer $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)$. Interpréter graphiquement le résultat.

   2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f . Montrer que $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{\left(x-8\right)\left(2x^2+x+8\right)}{x^2}}$

   3. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;12\right]$ puis, dresser le tableau des variations de la fonction x.

2. Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si le prix de vente d'un article est inférieur à 30 €.

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