contrôles en terminale ES

contrôle du 10 décembre 2011

thèmes abordés

  • Primitives d'une fonction.

exercice 1

Dans chacun des cas suivants, calculer une primitive F de la fonction f :

  1. f est définie sur par fx=2x3-12.

  2. f est définie sur 0+ par fx=2x2-x22.

  3. f est définie sur par fx=3xx2-12.


exercice 2

Dans chacun des cas suivants, calculer la primitive F de la fonction f qui vérifie la condition donnée.

  1. f est définie sur par fx=3x2+2x-1 et F-2=0.

  2. f est définie sur 0+ par fx=x-3x3 et F-1=1.

  3. f est définie sur l'intervalle -12+ par fx=42x+13 et F0=1.


exercice 3

D'après sujet bac Amérique du Sud Novembre 2011

Dans un cadre économique, on appelle fonction de satisfaction une fonction f définie et dérivable sur une partie de et à valeurs dans l'intervalle 0100.
On dit qu'il y a « saturation » lorsque la fonction de satisfaction prend la valeur 100.
La fonction v, dérivée de la fonction f, est appelée fonction « envie ». On a donc v=f.
On dit qu'il y a « envie » lorsque v est positive, sinon on dit qu'il y a « rejet ».

Charlotte doit rédiger un mémoire de recherche. Elle souhaite connaître la durée quotidienne de travail qui lui convient le mieux, sachant qu'elle a la possibilité d'y consacrer entre 0 et 8 heures par jour.
En début de journée, elle est de plus en plus efficace, mais après un certain temps sa productivité ne la satisfait plus.
Elle modélise son taux de satisfaction en fonction du nombre d'heures x passées quotidiennement à travailler.

La courbe représentant sa satisfaction f est donnée ci-dessous.
La tangente à cette courbe au point d'abscisse 4 est parallèle à l'axe des abscisses.
La courbe passe par l'origine du repère et la tangente en ce point passe par le point de coordonnées 150.

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. Par lecture graphique répondre aux questions suivantes :

    1. Pour quelle durée de travail quotidien y a-t-il « saturation » ?

    2. Sur quel intervalle y a-t-il « envie » ?

    3. Sur quel intervalle y a-t-il « rejet » ?

    4. Donner v4.

  2. On admettra que la fonction v est ici une fonction affine définie sur l'intervalle 08.
    Expliquer pourquoi son expression est : vx=-252x+50.

  3. Sachant que f0=0, déterminer fx pour x08.

  4. En déduire les valeurs de x pour lesquelles la satisfaction prend la valeur 75.


exercice 4

Une entreprise produit et commercialise un article A. Sa production mensuelle, est limitée à 12 milliers d'articles.

partie i : Étude du coût total de production

Une étude a montré que, pour cette entreprise, l'évolution du coût marginal de production est modélisée par la fonction Cm définie pour les nombres réels x de l'intervalle 012 par :Cmx=3x2-30x+78Cmx est exprimé en milliers d'euros, x en milliers.

Le coût marginal de production correspond à la dérivée du coût total de production.

  1. Déterminer la fonction CT définie sur l'intervalle 012 qui modélise le coût total de production, sachant que les coûts fixes s'élèvent à 64 000 € (soit CT0=64).

  2. Étudier les variations de la fonction CT.

  3. Déterminer une équation de la tangente à la courbe Γ représentative de la fonction CT au point d'abscisse 8.
    Tracer cette tangente sur le graphique ci-dessous.

Courbe représentative de la fonction coût total : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

partie b : Étude du coût moyen

Le coût moyen de production d'un article est fonction de la quantité x d'articles produits.
On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d'un article est égal à fx, où f est la fonction définie sur l'intervalle 012 par :fx=x3-15x2+78x+64x

    1. Calculer limx0fx. Interpréter graphiquement le résultat.

    2. On note f la dérivée de la fonction f . Montrer que fx=x-82x2+x+8x2

    3. Étudier le signe de fx sur l'intervalle 012 puis, dresser le tableau des variations de la fonction x.

  1. Expliquer pourquoi, quelle que soit la quantité produite, l'entreprise ne peut espérer faire un bénéfice si le prix de vente d'un article est inférieur à 30 €.



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