contrôles en terminale ES

contrôle du 10 décembre 2011

Corrigé de l'exercice 3

Dans un cadre économique, on appelle fonction de satisfaction une fonction f définie et dérivable sur une partie de $ℝ$ et à valeurs dans l'intervalle $[0; 100]$ .
On dit qu'il y a « saturation » lorsque la fonction de satisfaction prend la valeur 100.
La fonction v, dérivée de la fonction f, est appelée fonction « envie ». On a donc $v = f'$ .
On dit qu'il y a « envie » lorsque v est positive, sinon on dit qu'il y a « rejet ».

Charlotte doit rédiger un mémoire de recherche. Elle souhaite connaître la durée quotidienne de travail qui lui convient le mieux, sachant qu'elle a la possibilité d'y consacrer entre 0 et 8 heures par jour.
En début de journée, elle est de plus en plus efficace, mais après un certain temps sa productivité ne la satisfait plus.
Elle modélise son taux de satisfaction en fonction du nombre d'heures x passées quotidiennement à travailler.

La courbe représentant sa satisfaction f est donnée ci-dessous.
La tangente à cette courbe au point d'abscisse 4 est parallèle à l'axe des abscisses.
La courbe passe par l'origine du repère et la tangente en ce point passe par le point de coordonnées $(1; 50)$ .

Par lecture graphique répondre aux questions suivantes :
1. Pour quelle durée de travail quotidien y a-t-il « saturation » ?
  On dit qu'il y a « saturation » lorsque la fonction de satisfaction prend la valeur 100. Graphiquement, la valeur 100 est atteinte pour $x = 4$
  Il y a « saturation » pour une durée de 4 heures de travail quotidien.
2. Sur quel intervalle y a-t-il « envie » ?
  La fonction v, dérivée de la fonction f, est appelée fonction « envie » et, on dit qu'il y a « envie » lorsque v est positive.
  Par conséquent, il y a « envie » lorsque f est croissante.
  Il y a « envie » sur l'intervalle $[0; 4]$ .
3. Sur quel intervalle y a-t-il « rejet » ?
  On dit qu'il y a « rejet » lorsque v est négative. Par conséquent, il y a « rejet » lorsque f est décroissante.
  Il y a « rejet » sur l'intervalle $[4; 8]$ .
4. Donner $v (4)$ .
  La tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 4 est parallèle à l'axe des abscisses. Donc $v (4) = 0$
On admettra que la fonction v est ici une fonction affine définie sur l'intervalle $[0; 8]$ .
Expliquer pourquoi son expression est : $v (x) = - \frac{25}{2} x + 50$ .
Les fonctions affines sont les fonctions dont le taux d'accroissement est constant. v est une fonction affine définie sur l'intervalle $[0; 8]$ d'où pour tout réel $x \in [0; 8]$ , $\begin{matrix} v (x) = a x + b & avec & a = \frac{v (4) - v (0)}{4} \end{matrix}$
Or le nombre dérivé $v (0)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d'abscisse 0. D'où $\begin{matrix} v (0) = 50 & et & a = - \frac{50}{4} = - \frac{25}{2} \end{matrix}$
D'autre part, $v (4) = 0$ d'où $\begin{matrix} - \frac{25}{2} \times 4 + b = 0 & \Leftrightarrow & b = 50 \end{matrix}$
Ainsi, v est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 8]$ par $v (x) = - \frac{25}{2} x + 50$ .
Sachant que $f (0) = 0$ , déterminer $f (x)$ pour $x \in [0; 8]$ .
v est la dérivée de la fonction f donc f est une primitive de la fonction v.
$v (x) = - \frac{25}{2} x + 50$ d'où une primitive de la fonction v est $\begin{matrix} f (x) = - \frac{25}{2} \times \frac{x^{2}}{2} + 50 x + c & \Leftrightarrow & f (x) = - \frac{25}{4} x^{2} + 50 x + c \end{matrix}$
Or $f (0) = 0$ d'où $c = 0$
Ainsi, f est la fonction définie sur l'intervalle $[0; 8]$ par $f (x) = - \frac{25}{4} x^{2} + 50 x$ .
En déduire les valeurs de x pour lesquelles la satisfaction prend la valeur 75.
Sur l'intervalle $[0; 8]$ , $\begin{matrix} f (x) = 75 & \Leftrightarrow & - \frac{25}{4} x^{2} + 50 x = 75 & \Leftrightarrow & - \frac{25}{4} x^{2} + 50 x - 75 = 0 \end{matrix}$
Cherchons les solutions sur l'intervalle $[0; 8]$ de l'équation du second degré $- \frac{25}{4} x^{2} + 50 x - 75 = 0$ avec $a = - \frac{25}{4}$ , $b = 50$ et $c = - 75$ .
Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ d'où : $\begin{matrix} Δ = 2500 - 1875 = 625 \end{matrix}$
$Δ > 0$ donc l'équation a deux solutions : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{1} = \frac{- 50 - 25}{- \frac{25}{2}} = 6 \\ et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{2} = \frac{- 50 + 25}{- \frac{25}{2}} = 2 \end{array}$
La satisfaction prend la valeur 75 pour une durée de travail quotidien de 2 heures ou de 6 heures.

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