contrôle du 24 janvier 2012

Corrigé de l'exercice 2

1. Actuellement, le taux du livret A d'épargne est égal à 2,25%.
   En supposant que ce taux reste inchangé sur le long terme, au bout de combien d'années, un capital placé sur le livret A  aura-t-il plus que doublé ?

   Soit $C_0$ le montant initial du capital placé sur le livret A. Pour tout entier naturel n, notons $C_n$ le montant du capital disponible sur le livret A au bout de n années.

   Le coefficient multiplicateur associé à un taux d'intérêt de 2,25% est égal à $$1+{\displaystyle \frac{\mathrm{2,25}}{100}}=\mathrm{1,0225}$$ Pour tout entier naturel n, nous avons : $$C_{n+1}=\mathrm{1,0225}\times C_n$$ Donc $\left(C_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,0225 et de premier terme $C_0$ . D'où pour tout entier naturel n, $$C_n={\mathrm{1,0225}}^n\times C_0$$

   Le capital aura plus que doublé pour un nombre d'années n tel que $$\begin{array}{llll}{\mathrm{1,0225}}^n\times C_0⩾2\times C_0& \iff & {\mathrm{1,0225}}^n⩾2& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,0225}}^n\right)⩾\ln \left(2\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \left(\mathrm{1,0225}\right)⩾\ln \left(2\right)& \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(\mathrm{1,0225}\right)}}& \end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left(2\right)}{\ln \left(\mathrm{1,0225}\right)}}\approx \mathrm{31,2}$ donc $n=32$

   Avec un taux de 2,25%, un capital aura plus que doublé au bout de 32 ans.

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2. En supposant que la vente de disques diminue de 7% par an. Dans combien d'années le nombre de disques vendus aura-t-il diminué de plus de 50% ?

   Soit $D_0$ le nombre de disques vendus cette année. Pour tout entier naturel n, notons $D_n$ le nombre de disques vendus au bout de n années.

   D'une année sur l'autre, la vente de disques diminue de 7%. Le coefficient multiplicateur associé à une diminution de 7% est égal à $$1-{\displaystyle \frac{7}{100}}=\mathrm{0,93}$$ Donc pour tout entier naturel n, $D_{n+1}=\mathrm{0,968}\times D_n$. Ainsi, $\left(D_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,93 et de premier terme $D_0$ . D'où pour tout entier naturel n, $$D_n={\mathrm{0,93}}^n\times D_0$$

   Le coefficient multiplicateur associé à diminution de 50% est égal à 0,50. n est le plus petit entier tel que $$\begin{array}{llll}{\mathrm{0,93}}^n\times D_0⩽\mathrm{0,5}\times D_0& \iff & {\mathrm{0,93}}^n⩽\mathrm{0,5}& \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,93}}^n\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,5}\right)& \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\ln \left(\mathrm{0,93}\right)⩽\ln \left(\mathrm{0,5}\right)& \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,5}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,93}\right)}}& \mathrm{0,93}<1\text{ donc }\ln \left(\mathrm{0,93}\right)<0\end{array}$$

   Or ${\displaystyle \frac{\ln \left(\mathrm{0,5}\right)}{\ln \left(\mathrm{0,93}\right)}}\approx \mathrm{9,6}$ donc $n=10$

   Dans 10 ans, le nombre de disques vendus aura diminué de plus de 50%.

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