contrôle du 24 janvier 2012

Corrigé de l'exercice 4

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ dont on donne la représentation graphique $C_f$ dans le repère ci-dessous.

partie a

1. Avec la précision permise par le graphique, donner les valeurs de $f\prime \left(1\right)$ et $f\prime \left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)$, où $f\prime$ est la fonction dérivée de f sur $\left]0;+\infty \right[$.

   • Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T au point $A\left(1;1\right)$ qui passe par l'origine du repère d'où $f\prime \left(1\right)=1$

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   • La courbe $C_f$ admet une tangente horizontale au point B d'abscisse $\sqrt{\mathrm{e}}$ d'où $f\prime \left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=0$

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2. Une des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la fonction $f\prime$ et une autre d'une primitive F de la fonction f. Déterminer la courbe associée à la fonction $f\prime$ et celle qui est associée à la fonction F.

   • $f\prime \left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)=0$ et $\sqrt{\mathrm{e}}\approx \mathrm{1,6}$. La courbe $C_1$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction $f\prime$

   • Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x strictement positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de la fonction f.

     Or la courbe $C_f$ coupe l'axe des abscisses en un point d'abscisse $a<1$. La courbe $C_3$ est la seule des trois courbes susceptible de représenter la fonction F.

   Courbe $C_1$ représentative la fonction $f\prime$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$ représentative la fonction F

partie b

Dans cette partie, on admet que la fonction f représentée ci-dessus est définie pour tout réel x appartenant à $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}$

1. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

   Pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{ccccc}f\left(x\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}=0& \iff & {\displaystyle \frac{1+2\ln \left(x\right)}{x}}=0\end{array}$$

   Or pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{ccc}1+2\ln \left(x\right)=0& \iff & \ln \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \\ & \iff & \ln \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \left(\mathrm{e}\right)\hfill \\ & \iff & \ln \left(x\right)=-\ln \left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)\hfill \\ & \iff & \ln \left(x\right)=\ln \left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}}\right)\hfill \\ & \iff & x={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}}\hfill \end{array}$$

   L'ensemble solution de l'équation $f\left(x\right)=0$ est $S=\left\{{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}}\right\}$

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2. Étudier la limite de f en 0 et en $+\infty$. La courbe $C_f$ admet-elle des asymptotes ?

   • $\underset{x\to 0}{\lim }1+2\ln \left(x\right)=-\infty$ d'où $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{1+2\ln \left(x\right)}{x}}=-\infty$

     Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$ donc l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe $C_f$.

     ---

   • $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}=0$ donc par somme, $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}=0$

     Ainsi, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=0$ donc la courbe $C_f$ admet pour asymptote l'axe des abscisses en $+\infty$.

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3. 1. Calculer la dérivée $f\prime$ de la fonction f.

      Pour tout réel x strictement positif, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1+2\ln \left(x\right)}{x}}$. La fonction f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{cccc}& u\left(x\right)=1+2\ln \left(x\right)\hfill & \text{d'où}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2}{x}}\hfill \\ \text{et}& v\left(x\right)=x\hfill & \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=1\hfill \end{array}$$

      Soit pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{2}{x}}\times x-\left(1+2\ln \left(x\right)\right)}{x^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{1-2\ln \left(x\right)}{x^2}}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1-2\ln \left(x\right)}{x^2}}$

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   2. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

      Or pour tout réel x strictement positif, $x^2>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $1-2\ln \left(x\right)$ et , $$\begin{array}{ccc}1-2\ln \left(x\right)⩽0& \iff & \ln \left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \\ & \iff & \ln \left(x\right)⩾{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \left(\mathrm{e}\right)\hfill \\ & \iff & \ln \left(x\right)⩾\ln \left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)\hfill \\ & \iff & x⩾\sqrt{\mathrm{e}}\hfill \end{array}$$

      D'où le tableau établissant le signe de la dérivée ainsi que les variations de f

      x	0			$\sqrt{\mathrm{e}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$		$-\infty$		$\frac{2}{\sqrt{\mathrm{e}}}$		0

4. Soit F la primitive de la fonction f telle que $F\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$.

   1. Étudier les variations de la fonction F.

      F est une primitive de la fonction f donc pour tout réel x strictement positif, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de F se déduisent du signe de f.

      Sachant que $f\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}}\right)=0$ nous pouvons en déduire le signe de $f\left(x\right)$. D'où le tableau des variations de F :

      x	0			${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{e}}}}$		$+\infty$
      $f\left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $F\left(x\right)$

   2. Donner une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 1.

      Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction F  au point d'abscisse 1 est : $$\begin{array}{c}y=F\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+F\left(1\right)\end{array}$$

      Or $F\prime \left(1\right)=f\left(1\right)=1$ et $F\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$. Donc $$\begin{array}{ccc}y=\left(x-1\right)+{\displaystyle \frac{1}{4}}& \iff & y=x-{\displaystyle \frac{3}{4}}\end{array}$$

      La tangente à la courbe représentative de la fonction F au point d'abscisse 1 a pour équation $y=x-{\displaystyle \frac{3}{4}}$.  

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   3. Calculer $F\left(x\right)$

      La fonction v définie pour tout réel x strictement positif par $$v\left(x\right)={\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}=2\ln \left(x\right)\times {\displaystyle \frac{1}{x}}$$ est de la forme $v=2uu\prime$ avec pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=\ln \left(x\right)& \text{et}& u\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}\end{array}$$ Une primitive V de la fonction v est $V=v^2$ définie pour tout réel x strictement positif par $$V\left(x\right)={\left(\ln \left(x\right)\right)}^2$$

      Par conséquent, une primitive de la fonction f définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}+{\displaystyle \frac{2\ln \left(x\right)}{x}}$ est la fonction F définie par $$F\left(x\right)=\ln \left(x\right)+{\left(\ln \left(x\right)\right)}^2+c$$

      Or $F\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{4}}$ d'où $c={\displaystyle \frac{1}{4}}$

      Ainsi, F est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $F\left(x\right)={\left(\ln \left(x\right)\right)}^2+\ln \left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\left(\ln \left(x\right)+{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2$

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