contrôles en terminale ES

contrôle du 24 janvier 2012

Corrigé de l'exercice 3

Après avoir déterminé le domaine de définition, résoudre l'équation $2 \ln x = \ln (2 - x)$
- L'équation $2 \ln x = \ln (2 - x)$ est définie pour $\begin{matrix} x > 0 & et & 2 - x > 0 & \Leftrightarrow & x > 0 & et & x < 2 \end{matrix}$
  Ainsi, l'équation $2 \ln x = \ln (2 - x)$ est définie sur l'intervalle $] 0; 2 [$
- Pour tout réel x de l'intervalle $] 0; 2 [$ , $\begin{matrix} 2 \ln x = \ln (2 - x) & \Leftrightarrow & \ln (x^{2}) = \ln (2 - x) \end{matrix}$
  La fonction $\ln$ étant strictement croissante, il s'agit donc de chercher les solutions éventuelles de l'équation $x^{2} = 2 - x$ appartenant à l'intervalle $] 0; 2 [$ .
  Cherchons les solutions de l'équation du second degré $x^{2} + x - 2 = 0$ avec $a = 1, b = 1 et c = - 2$ . Le discriminant du trinôme est $Δ = b^{2} - 4 a c$ d'où : $\begin{matrix} Δ = 1 - 4 \times 1 \times (- 2) = 9 \end{matrix}$
  $Δ > 0$ donc l'équation a deux solutions : $\begin{array}{l} x_{1} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{1} = \frac{- 1 - 3}{2} = - 2 \\ et & x_{2} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} & Soit & x_{2} = \frac{- 1 + 3}{2} = 1 \end{array}$
  Or 1 est la seule solution appartenant à l'intervalle $] 0; 2 [$ donc
  L'équation $2 \ln x = \ln (2 - x)$ admet pour unique solution $x = 1$
Résoudre dans l'intervalle $] 0; + \infty [$ l'inéquation $\ln \frac{1}{x} - \ln x ⩾ 0$
Pour tout réel x strictement positif, $\begin{matrix} \ln \frac{1}{x} - \ln x ⩾ 0 & \Leftrightarrow & - \ln x - \ln x ⩾ 0 \\ \Leftrightarrow & - 2 \ln x ⩾ 0 \\ \Leftrightarrow & \ln x ⩽ 0 \\ \Leftrightarrow & x ⩽ 1 \end{matrix}$
L'ensemble solution de l'inéquation $\ln \frac{1}{x} - \ln x ⩾ 0$ est $S =] 0; 1]$

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