bac blanc du 06 mars 2012

Corrigé de l'exercice 2 : commun à tous les Élèves

1. Donner sans justificatif, la probabilité de l'évènement B et celle de l'évènement C.
   Donner la probabilité de l'évènement C sachant que l'évènement B est réalisé, notée $p_B\left(C\right)$.

   • 40% de la population consomme au moins une fois par mois des produits biologiques donc $p\left(B\right)=\mathrm{0,4}$

   • 36% de la population trouve normal de payer plus cher les produits biologiques donc $p\left(C\right)=\mathrm{0,36}$

   • Parmi les individus qui consomment au moins une fois par mois des produits biologiques, 56% trouve normal de payer plus cher les produits biologiques donc $p_B\left(C\right)=\mathrm{0,56}$

   Ainsi, $p\left(B\right)=\mathrm{0,4}$, $p\left(C\right)=\mathrm{0,36}$ et $p_B\left(C\right)=\mathrm{0,56}$

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2. Représenter les données de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.
   (On pourra compléter l'arbre avec les réponses obtenues dans les questions suivantes).

3. Définir par une phrase l'évènement $B\cap C$ puis calculer sa probabilité

   $B\cap C$ est l'évènement « la personne consomme au moins une fois par mois des produits biologiques et trouve normal de payer plus cher les produits biologiques » et $$\begin{array}{lll}p\left(B\cap C\right)=p_B\left(C\right)\times p\left(B\right)& \text{Soit}& p\left(B\cap C\right)=\mathrm{0,56}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,224}\end{array}$$

   La probabilité qu'une personne consomme au moins une fois par mois des produits biologiques et trouve normal de payer plus cher les produits biologiques est égale à 0,224.

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4. 1. Calculer la probabilité de l'évènement $\overline{B}\cap C$

      Les évènements B et C sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales : $$\begin{array}{ccc}p\left(C\right)=p\left(B\cap C\right)+p\left(\overline{B}\cap C\right)& \iff & p\left(\overline{B}\cap C\right)=p\left(C\right)-p\left(B\cap C\right)\hfill \\ & \text{Soit}& p\left(\overline{B}\cap C\right)=\mathrm{0,36}-\mathrm{0,224}=\mathrm{0,136}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, la probabilité qu'une personne ne consomme pas au moins une fois par mois des produits biologiques et trouve normal de payer plus cher les produits biologiques est égale à 0,136.

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   2. En déduire que la probabilité de l'évènement C sachant que $\overline{B}$ est réalisé, est égale à 0,227 à 10^{− 3} près.

      $p_{\overline{B}}\left(C\right)={\displaystyle \frac{p\left(\overline{B}\cap C\right)}{p\left(\overline{B}\right)}}$. Or $p\left(\overline{B}\right)=1-p\left(B\right)$.

      D'où $p\left(\overline{B}\right)=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$ et $p_{\overline{B}}\left(C\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,136}}{\mathrm{0,6}}}\approx \mathrm{0,227}$

      Arrondie à à 10^{− 3} près, la probabilité qu'une personne qui ne consomme pas au moins une fois par mois des produits biologiques trouve normal de payer plus cher les produits biologiques est 0,227.

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5. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
   La personne interrogée ne trouve pas normal de payer plus cher les produits biologiques.
   Quelle est la probabilité que ce soit une personne qui ne consomme pas au moins une fois par mois des produits biologiques ?

   Il s'agit de calculer la probabilité de l'évènement $\overline{B}$ sachant que $\overline{C}$ est réalisé. Soit $$p_{\overline{C}}\left(\overline{B}\right)={\displaystyle \frac{p\left(\overline{B}\cap \overline{C}\right)}{p\left(\overline{C}\right)}}$$

   Nous pouvons calculer $p\left(\overline{B}\cap \overline{C}\right)$ de deux façons :

   méthode 1 : D'après la formule des probabilités totales : $$\begin{array}{ccc}p\left(\overline{C}\right)=p\left(B\cap \overline{C}\right)+p\left(\overline{B}\cap \overline{C}\right)& \iff & p\left(\overline{B}\cap \overline{C}\right)=p\left(\overline{C}\right)-p\left(B\cap \overline{C}\right)\hfill \end{array}$$ Avec $$\begin{array}{lll}p\left(\overline{C}\right)=1-p\left(C\right)& \text{Soit}& p\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,36}=\mathrm{0,64}\end{array}$$ et $$\begin{array}{lll}p\left(B\cap \overline{C}\right)=p_B\left(\overline{C}\right)\times p\left(B\right)& \text{Soit}& p\left(B\cap \overline{C}\right)=\mathrm{0,44}\times \mathrm{0,4}=\mathrm{0,176}\end{array}$$ D'où $$p\left(\overline{B}\cap \overline{C}\right)=\mathrm{0,64}-\mathrm{0,176}=\mathrm{0,464}$$ Par conséquent, $$p_{\overline{C}}\left(\overline{B}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,464}}{\mathrm{0,64}}}=\mathrm{0,725}$$

   méthode 2 : $$p\left(\overline{B}\cap \overline{C}\right)=p_{\overline{B}}\left(\overline{C}\right)\times p\left(\overline{B}\right)$$ Avec $$\begin{array}{lll}{p}_{\overline{B}}\left(\overline{C}\right)=1-p_{\overline{B}}\left(C\right)& \text{Soit}& p_{\overline{B}}\left(\overline{C}\right)=1-\mathrm{0,227}=\mathrm{0,773}\end{array}$$ D'où $$p\left(\overline{B}\cap \overline{C}\right)=\mathrm{0,773}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,4638}$$Ce résultat est différent de celui obtenu avec la méthode 1 en raison de la valeur approchée à 10−3 de $p_{\overline{B}}\left(C\right)$ Par conséquent, $$p_{\overline{C}}\left(\overline{B}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,4638}}{\mathrm{0,64}}}\approx \mathrm{0,725}$$

   Ainsi, $p_{\overline{C}}\left(\overline{B}\right)=\mathrm{0,725}$.

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