bac blanc du 06 mars 2012

Corrigé de l'exercice 3 : Élèves n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois propositions est exacte. Recopier sur la copie la question complétée par la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0.

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1. L'ensemble solution de l'équation $2\ln \left(x\right)-1=0$ est …

   Pour tout réel $x>0$, $$\begin{array}{ccc}2\ln \left(x\right)-1=0& \iff & \ln \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\hfill \\ & \iff & \ln \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mathrm{e}\hfill \\ & \iff & \ln \left(x\right)=\ln \left(\sqrt{\mathrm{e}}\right)\hfill \\ & \iff & x=\sqrt{\mathrm{e}}\hfill \end{array}$$

   $S=\left\{{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}$

   $S=\left\{{\displaystyle \frac{\mathrm{e}}{2}}\right\}$

   $S=\left\{\sqrt{\mathrm{e}}\right\}$

2. On considère la fonction f définie et dérivable sur $ℝ$ dont on donne la représentation graphique $C_f$ dans le repère ci-dessous.
   La tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(0;2\right)$ coupe l'axe des abscisses au point $B\left(-4;0\right)$.
   On utilisera les informations de l'énoncé et celles lues sur la figure pour répondre aux questions.

   1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f

      Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente au point $A\left(0;2\right)$ qui coupe l'axe des abscisses au point $B\left(-4;0\right)$ d'où $$f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{2}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

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      $f\prime \left(0\right)=-4$

      $f\prime \left(0\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}$

      $f\prime \left(0\right)=2$

   2. L'équation $f\prime \left(x\right)=0$ admet :

      La courbe $C_f$ admet une seule tangente parallèle à l'axe des abscisses donc l'équation $f\prime \left(x\right)=0$ admet une seule solution.

      aucune solution

      une solution

      deux solutions

   3. Sur $ℝ$, une primitive F de la fonction f admet un maximum relatif en :

      Dire que F est une primitive de la fonction f signifie que pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. Par conséquent, les variations de la fonction F se déduisent du signe de la fonction f.

      D'où le tableau établissant le signe de f ainsi que les variations de F

      x	$-\infty$		− 2		4		$+\infty$
      $f\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $F\left(x\right)$

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      Ainsi, une primitive F de la fonction f admet un maximum relatif pour $x=4$.

      $x=-2$

      $x=1$

      $x=4$

   4. Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\left[-2;4\right]$ par $g\left(x\right)=\ln \left[f\left(x\right)\right]$ :

      $\underset{x\to 4}{\lim }f\left(x\right)=0$ et $\underset{x\to 0}{\lim }\ln \left(x\right)=-\infty$ donc par composition, $\underset{x\to 4}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$

      $\underset{x\to 4}{\lim }g\left(x\right)=-\infty$

      $\underset{x\to 4}{\lim }g\left(x\right)=0$

      $\underset{x\to 4}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$

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