bac blanc du 06 mars 2012

Corrigé de l'exercice 4 : commun à tous les Élèves

partie a

Soit f la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;15\right]$ par $f\left(x\right)=\ln \left(x+3\right)+{\displaystyle \frac{4}{x}}$.

1. Déterminer la limite de f en 0. Quelle interprétation graphique peut-on en donner ?

   Sur l'intervalle $\left]0;15\right]$ nous avons :

   • d'une part, $\underset{x\to 0}{\lim }x+3=3$ donc $\underset{x\to 0}{\lim }\ln \left(x+3\right)=\ln 3$

   • et d'autre part, $\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{4}{x}}=+\infty$

   Donc par somme, $\underset{x\to 0}{\lim }\ln \left(x+3\right)+{\displaystyle \frac{4}{x}}=+\infty$

   Ainsi, $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$ donc la courbe représentative de la fonction f admet pour asymptote l'axe des ordonnées.

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2. Montrer que pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;15\right]$, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-4x-12}{x^2\left(x+3\right)}}$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;15\right]$, $$\begin{array}{lll}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{1}{x+3}}-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2-4\times \left(x+3\right)}{x^2\times \left(x+3\right)}}\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2-4x-12}{x^2\left(x+3\right)}}\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;15\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-4x-12}{x^2\left(x+3\right)}}$

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3. Déterminer les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;15\right]$ et dresser son tableau de variations.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée.

   Étudions le signe de la dérivée $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2-4x-12}{x^2\left(x+3\right)}}$ :

   • Sur l'intervalle $\left]0;15\right]$, $x^2>0$ et $x+3>0$ donc le quotient ${\displaystyle \frac{x^2-4x-12}{x^2\left(x+3\right)}}$ est du même signe que le polynôme $x^2-4x-12$ sur l'intervalle $\left]0;15\right]$

   • Recherche des racines éventuelles du polynôme du second degré $x^2-4x-12$ avec $a=1$, $b=-4$ et $c=-12$.

     Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\mathrm{\Delta }=16+48=64=8^2$$

     $\mathrm{\Delta }>0$ donc le trinôme admet deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{4-8}{2}}=-2\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{4+8}{2}}=6\end{array}$$

   Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ sur l'intervalle $\left]0;15\right]$ ainsi que les variations de la fonction f :

   x	0				6		15
   $f\prime \left(x\right)$				−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$			$+\infty$

partie b

Une entreprise produit au maximum 15 000 objets par jour.
On note x le nombre de milliers d'objets produits chaque jour travaillé : $x\in \left]0;15\right]$.
On admet que le coût moyen de fabrication, exprimé en euros, d'un objet est égal à $f\left(x\right)$ , où f est la fonction définie dans la partie A.

1. 1. Pour combien d'objets produits le coût moyen de fabrication est-il minimal ?

      D'après les variations de la fonction f :

      Le coût moyen de fabrication est minimal pour une production de 6 000 objets par jour.

      ---

   2. Déterminer ce coût moyen minimal, arrondi au centime.

      $$f\left(6\right)=\ln \left(9\right)+{\displaystyle \frac{4}{6}}=2\ln 3+{\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{2,86}$$

      Arrondi au centime d'euro près, le coût moyen minimal d'un objet est de 2,86 €.

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2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
   Le coût total de production, exprimé en milliers d'euros, est modélisé par la fonction $C_T$ définie sur l'intervalle $\left]0;15\right]$ par $C_T\left(x\right)=x\ln \left(x+3\right)+4$.
   Le coût marginal $C_m$ est donné sur l'intervalle $\left]0;15\right]$ par la dérivée du coût total de production.
   Vérifier que pour une production de 6 000 objets, le coût marginal est égal au coût moyen.

   Le coût marginal $C_m$ est donné sur l'intervalle $\left]0;15\right]$ par la dérivée du coût total de production.
   Or $C_T=uv+4$ d'où $C_m=u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;15\right]$, $$\begin{array}{cccc}& u\left(x\right)=x\hfill & \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ \text{et}& v\left(x\right)=\ln \left(x+3\right)\hfill & \text{d'où}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x+3}}\hfill \end{array}$$

   Soit pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;15\right]$, $$C_m\left(x\right)=\ln \left(x+3\right)+{\displaystyle \frac{x}{x+3}}$$

   D'où $$C_m\left(6\right)=\ln \left(9\right)+{\displaystyle \frac{6}{9}}=2\ln 3+{\displaystyle \frac{2}{3}}=f\left(6\right)$$

   Ainsi, quand le coût moyen est minimal, le coût marginal est égal au coût moyen.

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