contrôles en terminale ES

contrôle du 28 septembre 2012

Corrigé de l'exercice 1

partie a

Soit un la suite numérique définie par u0=5 500 et pour tout entier naturel n, un+1=0,68un+3560 .

    1. Utiliser les droites d'équations y=x et y=0,68x+3560 pour construire les quatre premiers termes de la suite un.
      Conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite un.

      Convergence de la suite : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      Graphiquement, la suite un semble croissante et converger vers l'abscisse du point d'intersection des deux droites : 0,68x+3650=x0,32x=3650x=11125

      Si, la suite un admet une limite finie quand n tend vers + alors cette limite est égale à 11125.


    2. Quel est le rôle de l'algorithme suivant ?

      A=5 500 ;
      k=0 ;

      tant_queA<11 000 faire

      k prend la valeur k+1
      A prend la valeur 0,68A+3560

      fin tant_que

      Sortie : Afficher k


      Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier k tel que pour tout entier nk, un11 000.  


  1. Soit vn la suite définie, pour tout entier naturel n par vn=un-11 125.

    1. Démontrer que vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, vn+1=un+1-11125=0,68un+3560-11125=0,68un-7565=0,68×un-11125=0,68vn

      Pour tout entier n, vn+1=0,68vn alors la suite vn est une suite géométrique de raison 0,68.

      Calculons le premier terme de la suite vn : v0=u0-11125Soitv0=5500-11125=-5625

      Ainsi, la suite vn est une suite géométrique de raison 0,68 et de premier terme v0=-5625.


    2. Exprimer alors vn, en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, un=11 125-5625×0,68n.

      vn est une suite géométrique de raison 0,68 et de premier terme v0=-5625 alors pour tout entier n, vn=-5625×0,68n

      Comme pour tout entier n, vn=un-11125 alors un=vn+11125.

      Donc pour tout entier n, un=11125-5625×0,68n.


    3. La suite un est-elle convergente ?

      0<0,68<1 donc limn+0,68n=0 d'où, limn+11125-5625×0,68n=11125. Soit limn+un=11125.

      La suite un converge vers 11 125.


partie b

Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement.
Une étude statistique a permis de constater que d'une année sur l'autre, 32% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement.
En 2010, il y avait 5 500 abonnés à cette revue.

  1. Donner une estimation du nombre d'abonnés à cette revue en 2012.

    • En 2011, 32% des 5 500 abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement. En 2011, le nombre d'abonnés est :5500×0,68+3560=7300

    • En 2012, 32% des 7 300 abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement. En 2012, le nombre d'abonnés est :7300×0,68+3560=8524

    En 2012, il y a 8 524 abonnés à cette revue.


  2. Pour tout nombre entier naturel n, on note un le nombre d'abonnés à la revue l'année 2010 + n.

    1. Justifier que pour tout entier n, un+1=0,68un+3560

      D'une année sur l'autre, 32% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement donc d'une année sur l'autre, 68% des abonnés renouvellent leur abonnement et 3560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement d'où :

      Pour tout entier n, un+1=0,68un+3560


    2. Est-il possible d'envisager au bout d'un nombre d'années suffisamment grand, une diffusion supérieure à 12 000 abonnés ?

      D'après la partie A, pour tout entier n, un=11125-5625×0,68n. D'où : un>1200011125-5625×0,68n>12000-5625×0,68n>12000-111250,68n<-8255625

      Or pour tout entier n, 0,68n>0.

      Une diffusion supérieure à 12 000 abonnés n'est pas envisageable.


    3. À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés à la revue sera supérieur à 11 000 ?

      L'algorithme de la partie A permet de déterminer le plus petit entier k telque pour tout entier nk, un11 000. Sa traduction en programme sur la calculatrice est :

      TexasCasio

      : 5500 → A
      : 0 → k
      : While A < 11000
      : k+1 → k
      : 0.68 * A + 3560 → A
      : End
      : Disp k

      5500 → A ↵
      0 → k ↵
      While A < 11000 ↵
      k+1 → k ↵
      0.68 * A + 3560 → A ↵
      WhileEnd ↵
      k ◢


      La calculatrice affiche 10. Donc à partir de 2020, le nombre d'abonnés à la revue sera supérieur à 11 000.



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