contrôles en terminale ES

contrôle du 28 septembre 2012

Corrigé de l'exercice 1

partie a

Soit $(u_{n})$ la suite numérique définie par $u_{0} = 5 500$ et pour tout entier naturel n, $u_{n + 1} = 0,68 u_{n} + 3 560$ .

1. Utiliser les droites d'équations $y = x$ et $y = 0,68 x + 3 560$ pour construire les quatre premiers termes de la suite $(u_{n})$ .
  Conjecturer le sens de variation ainsi que la limite de la suite $(u_{n})$ .
  Graphiquement, la suite $(u_{n})$ semble croissante et converger vers l'abscisse du point d'intersection des deux droites : $\begin{array}{l} 0,68 x + 3650 = x & \Leftrightarrow & 0,32 x = 3650 \\ \Leftrightarrow & x = 11 125 \end{array}$
  Si, la suite $(u_{n})$ admet une limite finie quand n tend vers $+ \infty$ alors cette limite est égale à 11 125.
2. Quel est le rôle de l'algorithme suivant ?
  $A = 5 500$ ;
  $k = 0$ ;
  tant_que $A < 11 000$ faire
  k prend la valeur $k + 1$
  A prend la valeur $0,68 A + 3 560$
  fin tant_que
  Sortie : Afficher k
  Cet algorithme permet de déterminer le plus petit entier k tel que pour tout entier $n ⩾ k$ , $u_{n} ⩾ 11 000$ .
Soit $(v_{n})$ la suite définie, pour tout entier naturel n par $v_{n} = u_{n} - 11 125$ .
1. Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
  Pour tout entier n, $\begin{array}{l} v_{n + 1} & = & u_{n + 1} - 11 125 \\ = & 0,68 u_{n} + 3 560 - 11 125 \\ = & 0,68 u_{n} - 7565 \\ = & 0,68 \times (u_{n} - 11 125) \\ = & 0,68 v_{n} \end{array}$
  Pour tout entier n, $v_{n + 1} = 0,68 v_{n}$ alors la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,68.
  Calculons le premier terme de la suite $(v_{n})$ : $\begin{matrix} v_{0} = u_{0} - 11 125 & Soit & v_{0} = 5500 - 11 125 = - 5 625 \end{matrix}$
  Ainsi, la suite $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,68 et de premier terme $v_{0} = - 5 625$ .
2. Exprimer alors $v_{n}$ , en fonction de n. En déduire que, pour tout entier naturel n, $u_{n} = 11 125 - 5 625 \times {0,68}^{n}$ .
  $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 0,68 et de premier terme $v_{0} = - 5 625$ alors pour tout entier n, $v_{n} = - 5 625 \times {0,68}^{n}$
  Comme pour tout entier n, $v_{n} = u_{n} - 11 125$ alors $u_{n} = v_{n} + 11 125$ .
  Donc pour tout entier n, $u_{n} = 11 125 - 5 625 \times {0,68}^{n}$ .
3. La suite $(u_{n})$ est-elle convergente ?
  $0 < 0,68 < 1$ donc $\lim_{n \to + \infty} {0,68}^{n} = 0$ d'où, $\lim_{n \to + \infty} 11 125 - 5 625 \times {0,68}^{n} = 11 125$ . Soit $\lim_{n \to + \infty} u_{n} = 11 125$ .
  La suite $(u_{n})$ converge vers 11 125.

partie b

Une revue spécialisée est diffusée uniquement par abonnement.
Une étude statistique a permis de constater que d'une année sur l'autre, 32% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3 560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement.
En 2010, il y avait 5 500 abonnés à cette revue.

Donner une estimation du nombre d'abonnés à cette revue en 2012.
- En 2011, 32% des 5 500 abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3 560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement. En 2011, le nombre d'abonnés est : $5500 \times 0,68 + 3 560 = 7300$
- En 2012, 32% des 7 300 abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3 560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement. En 2012, le nombre d'abonnés est : $7300 \times 0,68 + 3 560 = 8524$
En 2012, il y a 8 524 abonnés à cette revue.

Pour tout nombre entier naturel n, on note $u_{n}$ le nombre d'abonnés à la revue l'année 2010 + n.

Justifier que pour tout entier n, $u_{n + 1} = 0,68 u_{n} + 3 560$
D'une année sur l'autre, 32% des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement et 3 560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement donc d'une année sur l'autre, 68% des abonnés renouvellent leur abonnement et 3 560 nouvelles personnes souscrivent un abonnement d'où :
Pour tout entier n, $u_{n + 1} = 0,68 u_{n} + 3 560$
Est-il possible d'envisager au bout d'un nombre d'années suffisamment grand, une diffusion supérieure à 12 000 abonnés ?
D'après la partie A, pour tout entier n, $u_{n} = 11 125 - 5 625 \times {0,68}^{n}$ . D'où : $\begin{matrix} u_{n} > 12000 & \Leftrightarrow & 11 125 - 5 625 \times {0,68}^{n} > 12000 \\ \Leftrightarrow & - 5 625 \times {0,68}^{n} > 12000 - 11 125 \\ \Leftrightarrow & {0,68}^{n} < - \frac{825}{5 625} \end{matrix}$
Or pour tout entier n, ${0,68}^{n} > 0$ .
Une diffusion supérieure à 12 000 abonnés n'est pas envisageable.

À l'aide de la calculatrice, déterminer l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnés à la revue sera supérieur à 11 000 ?

L'algorithme de la partie A permet de déterminer le plus petit entier k telque pour tout entier $n ⩾ k$ , $u_{n} ⩾ 11 000$ . Sa traduction en programme sur la calculatrice est :

Texas	Casio
: 5500 → A : 0 → k : While A < 11000 : k+1 → k : 0.68 * A + 3 560 → A : End : Disp k	5500 → A ↵ 0 → k ↵ While A < 11000 ↵ k+1 → k ↵ 0.68 * A + 3 560 → A ↵ WhileEnd ↵ k ◢

La calculatrice affiche 10. Donc à partir de 2020, le nombre d'abonnés à la revue sera supérieur à 11 000.

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