contrôle du 28 septembre 2012

Corrigé de l'exercice 2

Cet exercice constitue un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule des réponses proposées est exacte.
Pour chaque question, indiquer sur votre copie le numéro de la question et la réponse choisie en justifiant votre choix.

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1. On place 15 000 € au taux annuel de 2,5%. On note $C_n$ le capital disponible au bout de n années alors :

   Le coefficient multiplicateur associé à un taux d'intérêt annuel de 2,5% est 1,025.

   Nous avons $C_0=15000$ et, pour tout entier naturel n, $C_{n+1}=\mathrm{1,025}\times C_n$.

   Donc $\left(C_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,028 et de premier terme $C_0=15000$ alors pour tout entier n, $C_n=15000\times {\mathrm{1,025}}^n$

   $C_n=15000+375n$

   $C_n=15000+{\mathrm{0,025}}^n$

   $C_n=15000+{\mathrm{1,025}}^n$

   $C_n=15000\times {\mathrm{1,025}}^n$

2. On note $S_n=1+{\displaystyle \frac{1}{5}}+{\displaystyle \frac{1}{25}}+\dots +{\displaystyle \frac{1}{5^n}}$ alors :

   $S_n$ est la somme des puissances successives du réel ${\displaystyle \frac{1}{5}}=\mathrm{0,2}$. D'où $$S_n={\displaystyle \frac{1-{\mathrm{0,2}}^{n+1}}{1-\mathrm{0,2}}}={\displaystyle \frac{1-\mathrm{0,2}\times {\mathrm{0,2}}^n}{\mathrm{0,8}}}=\mathrm{1,25}-\mathrm{0,25}\times {\mathrm{0,2}}^n$$

   Or $0<\mathrm{0,2}<1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{0,25}\times {\mathrm{0,2}}^n=0$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{1,25}-\mathrm{0,25}\times {\mathrm{0,2}}^n=\mathrm{1,25}$.

   $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=+\infty$

   $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\mathrm{1,25}$

   $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=\mathrm{1,5}$

   $\underset{n\to +\infty }{\lim }{S}_n=2$

3. Sur la figure ci-dessous est tracée la courbe représentative notée $C_f$ d'une fonction f dérivable sur $ℝ$.
   La droite D est tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(5;0\right)$.

   1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.

      Le nombre dérivé $f\prime \left(5\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente D à la courbe au point $A\left(5;0\right)$ or la droite D passe par le point de coordonnées $\left(3;3\right)$ d'où $$f\prime \left(5\right)={\displaystyle \frac{0-3}{5-3}}=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$$

      $f\prime \left(5\right)=0$

      $f\prime \left(5\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}$

      $f\prime \left(5\right)=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$

      $f\prime \left(5\right)=-{\displaystyle \frac{3}{2}}$

   2. Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right[$

      Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right[$ le minimum de la fonction f est atteint pour $x=-4$ donc $f\prime \left(-4\right)=0$.

      Sur l'intervalle $\left]-\infty ;-4\right[$ la fonction f est strictement décroissante donc $f\prime \left(-6\right)⩽0$.

      Par conséquent, $f\prime \left(-6\right)⩽f\prime \left(-4\right)$.

      $f\prime \left(x\right)⩽0$

      $f\prime \left(x\right)⩾0$

      $f\prime \left(-6\right)⩽f\prime \left(-4\right)$

      $f\prime \left(-6\right)⩾f\prime \left(-4\right)$

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