contrôle du 28 septembre 2012

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{15x+60}{x^2+9}}$. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f.
Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée $C_f$ est donnée en annexe ci-dessous à titre indicatif.

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=15x+60& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=15\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2+9& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x\end{array}$

   Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{15\times \left(x^2+9\right)-2x\times \left(15x+60\right)}{{\left(x^2+9\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{15x^2+135-30x^2-120x}{{\left(x^2+9\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-15x^2-120x+135}{{\left(x^2+9\right)}^2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-15\times \left(x^2+8x-9\right)}{{\left(x^2+9\right)}^2}}\hfill \end{array}$$

   Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction $f\prime$ définie sur $ℝ$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-15\times \left(x^2+8x-9\right)}{{\left(x^2+9\right)}^2}}$.

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2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$.

   Pour tout réel x, ${\left(x^2+9\right)}^2>0$. Donc le signe de $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-15\times \left(x^2+8x-9\right)}{{\left(x^2+9\right)}^2}}$ est l'opposé du signe du polynôme du second degré $x^2+8x-9$ avec $a=1$, $b=8$ et $c=-9$.
   Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=64+36=100\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-8-10}{2}}=-9\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-8+10}{2}}=1\end{array}$$

   Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ suivant les valeurs du réel x :

   x	$-\infty$		− 9		1		$+\infty$
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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3. Donner le tableau des variations de f .

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de la fonction :

   x	$-\infty$		− 9		1		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$			$-{\displaystyle \frac{5}{6}}$		7,5

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   calcul des extremum :

   • La fonction f admet un minimum relatif en − 9 et $$f\left(-9\right)={\displaystyle \frac{15\times \left(-9\right)+60}{{\left(-9\right)}^2+9}}=-{\displaystyle \frac{5}{6}}$$

   • La fonction f admet un maximum relatif en 1 et $$f\left(1\right)={\displaystyle \frac{15+60}{1+9}}=\mathrm{7,5}$$

4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse − 4.
   Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente T.

   Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse − 4 est :$$y=f\prime \left(-4\right)\times \left(x+4\right)+f\left(-4\right)$$

   Avec $$\begin{array}{ccc}f\left(-4\right)={\displaystyle \frac{15\times \left(-4\right)+60}{{\left(-4\right)}^2+9}}=0& \text{et}& f\prime \left(-4\right)={\displaystyle \frac{-15\times \left({\left(-4\right)}^2+8\times \left(-4\right)-9\right)}{{\left({\left(-4\right)}^2+9\right)}^2}}={\displaystyle \frac{3}{5}}\end{array}$$ D'où $$y={\displaystyle \frac{3}{5}}\times \left(x+4\right)$$

   La tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse − 4 a pour équation $y=\mathrm{0,6}x+\mathrm{2,4}$.

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