contrôles en terminale ES

contrôle du 28 septembre 2012

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur par fx=15x+60x2+9. On note f la dérivée de la fonction f.
Sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan, notée Cf est donnée en annexe ci-dessous à titre indicatif.

  1. Calculer fx.

    f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. f=uv d'où f=uv-uvv2 avec pour tout réel x : {ux=15x+60 d'où ux=15 et vx=x2+9 d'où vx=2x

    Soit pour tout réel x, fx=15×x2+9-2x×15x+60x2+92=15x2+135-30x2-120xx2+92=-15x2-120x+135x2+92=-15×x2+8x-9x2+92

    Ainsi, la dérivée de la fonction f est la fonction f définie sur par fx=-15×x2+8x-9x2+92.


  2. Étudier le signe de fx.

    Pour tout réel x, x2+92>0. Donc le signe de fx=-15×x2+8x-9x2+92 est l'opposé du signe du polynôme du second degré x2+8x-9 avec a=1, b=8 et c=-9.
    Le discriminant du trinôme est Δ=b2-4ac d'où : Δ=64+36=100

    Δ>0 donc le polynôme a deux racines : x1=-b-Δ2aSoitx1=-8-102=-9etx2=-b+Δ2aSoitx2=-8+102=1

    Un polynôme du second degré est du signe de a sauf pour les valeurs comprises entre les racines. Nous pouvons déduire le tableau du signe de fx suivant les valeurs du réel x :

    x- − 9 1 +
    Signe de fx 0||+0|| 

  3. Donner le tableau des variations de f .

    Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau des variations de la fonction :

    x- − 9 1 +
    fx 0||+0|| 
    fx fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    -56

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    7,5

    fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

    calcul des extremum :

    • La fonction f admet un minimum relatif en − 9 et f-9=15×-9+60-92+9=-56

    • La fonction f admet un maximum relatif en 1 et f1=15+601+9=7,5

  4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse − 4.
    Tracer sur le graphique donné en annexe, la tangente T.

    Une équation de la tangente à la courbe Cf au point d'abscisse − 4 est :y=f-4×x+4+f-4

    Avec f-4=15×-4+60-42+9=0etf-4=-15×-42+8×-4-9-42+92=35 D'où y=35×x+4

    La tangente T à la courbe Cf au point d'abscisse − 4 a pour équation y=0,6x+2,4.


    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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