contrôles en terminale ES

contrôle du 01 février 2013

Corrigé de l'exercice 2

Une entreprise produit des articles, dont certains sont défectueux à cause de deux défauts possibles, un défaut d'assemblage ou un défaut de finition, à l'exclusion de tout autre défaut.

Une étude statistique a permis de constater que sur l'ensemble de la production :

9 % des articles présentent les deux défauts.
15 % des articles présentent un défaut d'assemblage.
4 % des articles n'ayant pas un défaut d'assemblage ont un défaut de finition.

On choisit un article au hasard et on note :

A l'évènement : « l'article a un défaut d'assemblage » ;
F l'évènement : « l'article a un défaut de finition ».

1. Préciser les valeurs des probabilités $p (A)$ , $p (A \cap F)$ et $p_{\bar{A}} (F)$
  D'après les résultats de l'étude statistique, $p (A) = 0,15$ , $p (A \cap F) = 0,09$ et $p_{\bar{A}} (F) = 0,04$ .
2. Calculer la probabilité pour que l'article présente un défaut de finition mais pas le défaut d'assemblage.
  $p (\bar{A} \cap F) = p_{\bar{A}} (F) \times p (\bar{A})$
  Or $p (A) = 0,15$ d'où $p (\bar{A}) = 1 - 0,15 = 0,85$ . Donc $p (\bar{A} \cap F) = 0,04 \times 0,85 = 0,034$
  La probabilité pour que l'article présente un défaut de finition mais pas le défaut d'assemblage est égale à 0,034.
3. Calculer $p (F)$ .
  Les évènements A et F sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales : $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
  Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $p (B) = p (B \cap A_{1}) + p (B \cap A_{2}) + \dots + p (B \cap A_{n})$
  Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve : $p (B) = p (B \cap A) + p (B \cap \bar{A})$ $\begin{matrix} p (F) = p (A \cap F) + p (\bar{A} \cap F) & Soit & p (F) = 0,09 + 0,034 = 0,124 \end{matrix}$
  La probabilité pour que l'article présente un défaut de finition est égale à 0,124.
4. Calculer la probabilité de l'évènement $A \cup F$ : « l'article est de fabrication défectueuse ».
  $\begin{matrix} p (A \cup F) = p (A) + p (F) - p (A \cap F) & Soit & p (F) = 0,15 + 0,124 - 0,09 = 0,184 \end{matrix}$
  La probabilité pour que l'article présente un défaut égale à 0,184.
On prélève au hasard n articles. On suppose que le nombre d'articles est suffisamment grand pour assimiler ce prélèvement à des tirages successifs indépendants avec remise.
1. On note $p_{n}$ la probabilité que l'un au moins de ces n articles soit défectueux. Justifier que $p_{n} = 1 - {0,816}^{n}$ .
  Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre d'articles qui ont un défaut. La loi de probabilité de X est une loi binomiale de paramètres n et 0,184.
  L'évènement « au moins un article a un défaut » est l'évènement contraire de l'évènement « aucun article n'est défectueux ». D'où : $\begin{matrix} p_{n} = 1 - p (X = 0) & Soit & p_{n} = 1 - {(1 - 0,184)}^{n} = 1 - {0,816}^{n} \end{matrix}$
  Ainsi, la probabilité que l'un au moins des articles soit défectueux est $p_{n} = 1 - {0,816}^{n}$ .
2. Quel est le nombre minimal d'articles qu'il faut prélever pour que la probabilité que l'un au moins de ces articles soit défectueux soit supérieure à 0,98 ?
  Il s'agit de déterminer le plus petit entier n tel que $1 - {0,816}^{n} ⩾ 0,98$ .
  $\begin{array}{l} 1 - {0,816}^{n} ⩾ 0,98 & \Leftrightarrow & - {0,816}^{n} ⩾ - 0,02 \\ \Leftrightarrow & {0,816}^{n} ⩽ 0,02 \\ \Leftrightarrow & \ln ({0,816}^{n}) ⩽ \ln 0,02 & La fonction \ln est strictement croissante \\ \Leftrightarrow & n \times \ln 0,816 ⩽ \ln 0,02 \\ \Leftrightarrow & n ⩾ \frac{\ln 0,02}{\ln 0,816} & \ln 0,816 < 0 \end{array}$
  Comme $\frac{\ln 0,02}{\ln 0,816} \approx 19,2$ , le plus petit entier n tel que $1 - {0,816}^{n} ⩾ 0,98$ est $n = 20$ .
  Il faut prélever au moins 20 articles pour que la probabilité que l'un au moins de ces articles soit défectueux soit supérieure à 0,98.

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 :

indifférent :

[ Accueil ]

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.