contrôle du 01 février 2013

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=x\times \left(x-2\ln \left(x\right)+1\right)$.

partie a

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ où $f\prime$ est la dérivée de la fonction f.

   f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=1\hfill \\ v\left(x\right)=x-2\ln \left(x\right)+1\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{x}}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x strictement positif, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& \left(x-2\ln \left(x\right)+1\right)+x\times \left(1-{\displaystyle \frac{2}{x}}\right)\hfill \\ & =& x-2\ln \left(x\right)+1+x-2\hfill \\ & =& 2x-2\ln \left(x\right)-1\hfill \end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=2x-2\ln \left(x\right)-1$.

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2. Calculer $f\prime \prime \left(x\right)$ où $f\prime \prime$ est la dérivée seconde de la fonction f.

   Pour tout réel x strictement positif, $$f\prime \prime \left(x\right)=2-{\displaystyle \frac{2}{x}}={\displaystyle \frac{2x-2}{x}}$$

   $f\prime \prime$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x-2}{x}}$.

   ---

3. 1. Étudier les variations de la fonction $f\prime$.

      Les variations de la fonction $f\prime$ se déduisent du signe de sa dérivée $f\prime \prime$. D'où le tableau de variations de la fonction $f\prime$ :

      x	0			1		$+\infty$
      $f\prime \prime \left(x\right)$			−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\prime \left(x\right)$				1

      ---

      Le minimum de la fonction $f\prime$ est atteint pour $x=1$ et $f\prime \left(1\right)=2-1=1$

   2. Préciser la convexité de la fonction f suivant les valeurs du réel x.

      • Sur l'intervalle $\left]0;1\right]$, la dérivée $f\prime$ est décroissante donc la fonction f est concave sur cet intervalle.

      • Sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$, la dérivée $f\prime$ est croissante donc la fonction f est convexe sur cet intervalle.

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4. En utilsant les résultats de la question 3. a, montrer que la fonction f est strictement croissante.

   Le minimum de la fonction $f\prime$ est égal à 1. Donc pour tout réel $x>0$, $f\prime \left(x\right)⩾1$.

   Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$, $f\prime \left(x\right)>0$. Donc la fonction f est strictement croissante.

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partie b

1. La courbe représentative de la fonction f, notée $C_f$, est tracée ci-dessous, ainsi que la droite d tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 2.
   La droite d passe-t-elle par l'origine du repère ?

   Une équation la tangente d à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 2 est $$y=f\prime \left(2\right)\times \left(x-2\right)+f\left(2\right)$$

   Or $f\prime \left(2\right)=4-2\ln \left(2\right)-1=3-2\ln 2$ et $f\left(2\right)=2\times \left(2-2\ln \left(2\right)+1\right)=6-4\ln 2$

   La tangente d a pour équation : $$y=\left(3-2\ln 2\right)\times \left(x-2\right)+6-4\ln 2=\left(3-2\ln 2\right)\times x$$

   La tangente d à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 2 a pour équation $y=\left(3-2\ln 2\right)\times x$. Cette droite passe par l'origine du repère.

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2. 1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 1. Tracer sur le graphique précédent, la tangente T.

      Une équation de la tangente à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 1 est : $$y=f\prime \left(1\right)\times \left(x-1\right)+f\left(1\right)$$

      Avec $f\prime \left(1\right)=2-2\ln \left(1\right)-1=1$ et $f\left(1\right)=1\times \left(1-2\ln \left(1\right)+1\right)=2$. D'où $$\begin{array}{ccc}y=\left(x-1\right)+2& \iff & y=x+1\end{array}$$

      La tangente T à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 1 a pour équation $y==x+1$.

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   2. Que représente le point B pour la courbe $C_f$ ?

      En 1, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe, donc la courbe $C_f$ admet le point $B\left(1;2\right)$ comme point d'inflexion.

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