Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par .
Calculer où est la dérivée de la fonction f.
f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : d'où avec pour tout réel x strictement positif,
Soit pour tout réel x strictement positif,
est la fonction définie sur l'intervalle par .
Calculer où est la dérivée seconde de la fonction f.
Pour tout réel x strictement positif,
est la fonction définie sur l'intervalle par .
Étudier les variations de la fonction .
Les variations de la fonction se déduisent du signe de sa dérivée . D'où le tableau de variations de la fonction :
x | 0 | 1 | ||||
− | + | |||||
1 |
Le minimum de la fonction est atteint pour et
Préciser la convexité de la fonction f suivant les valeurs du réel x.
Sur l'intervalle , la dérivée est décroissante donc la fonction f est concave sur cet intervalle.
Sur l'intervalle , la dérivée est croissante donc la fonction f est convexe sur cet intervalle.
En utilsant les résultats de la question 3. a, montrer que la fonction f est strictement croissante.
Le minimum de la fonction est égal à 1. Donc pour tout réel , .
Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle , . Donc la fonction f est strictement croissante.
La courbe représentative de la fonction f, notée , est tracée ci-dessous, ainsi que la droite d tangente à la courbe au point A d'abscisse 2.
La droite d passe-t-elle par l'origine du repère ?
Une équation la tangente d à la courbe au point A d'abscisse 2 est
Or et
La tangente d a pour équation :
La tangente d à la courbe au point A d'abscisse 2 a pour équation . Cette droite passe par l'origine du repère.
Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point B d'abscisse 1. Tracer sur le graphique précédent, la tangente T.
Une équation de la tangente à la courbe au point B d'abscisse 1 est :
Avec et . D'où
La tangente T à la courbe au point B d'abscisse 1 a pour équation .
Que représente le point B pour la courbe ?
En 1, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe, donc la courbe admet le point comme point d'inflexion.
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