contrôles en terminale ES

contrôle du 01 février 2013

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par f(x)=x×(x-2ln(x)+1).

partie a

  1. Calculer f(x)f est la dérivée de la fonction f.

    f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x strictement positif, {u(x)=x;u(x)=1v(x)=x-2ln(x)+1;v(x)=1-2x

    Soit pour tout réel x strictement positif, f(x)=(x-2ln(x)+1)+x×(1-2x)=x-2ln(x)+1+x-2=2x-2ln(x)-1

    f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=2x-2ln(x)-1.


  2. Calculer f(x)f est la dérivée seconde de la fonction f.

    Pour tout réel x strictement positif, f(x)=2-2x=2x-2x

    f est la fonction définie sur l'intervalle ]0;+[ par f(x)=2x-2x.


    1. Étudier les variations de la fonction f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée f. D'où le tableau de variations de la fonction f :

      x0  1 +
      f(x)  0||+ 
      f(x)   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      1

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

      Le minimum de la fonction f est atteint pour x=1 et f(1)=2-1=1

    2. Préciser la convexité de la fonction f suivant les valeurs du réel x.

      • Sur l'intervalle ]0;1], la dérivée f est décroissante donc la fonction f est concave sur cet intervalle.

      • Sur l'intervalle [1;+[, la dérivée f est croissante donc la fonction f est convexe sur cet intervalle.


  3. En utilsant les résultats de la question 3. a, montrer que la fonction f est strictement croissante.

    Le minimum de la fonction f est égal à 1. Donc pour tout réel x>0, f(x)1.

    Ainsi, pour tout réel x de l'intervalle ]0;+[, f(x)>0. Donc la fonction f est strictement croissante.


partie b

  1. La courbe représentative de la fonction f, notée Cf, est tracée ci-dessous, ainsi que la droite d tangente à la courbe Cf au point A d'abscisse 2.
    La droite d passe-t-elle par l'origine du repère ?

    Une équation la tangente d à la courbe Cf au point A d'abscisse 2 est y=f(2)×(x-2)+f(2)

    Or f(2)=4-2ln(2)-1=3-2ln2 et f(2)=2×(2-2ln(2)+1)=6-4ln2

    La tangente d a pour équation : y=(3-2ln2)×(x-2)+6-4ln2=(3-2ln2)×x

    La tangente d à la courbe Cf au point A d'abscisse 2 a pour équation y=(3-2ln2)×x. Cette droite passe par l'origine du repère.


    1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf au point B d'abscisse 1. Tracer sur le graphique précédent, la tangente T.

      Une équation de la tangente à la courbe Cf au point B d'abscisse 1 est : y=f(1)×(x-1)+f(1)

      Avec f(1)=2-2ln(1)-1=1 et f(1)=1×(1-2ln(1)+1)=2. D'où y=(x-1)+2y=x+1

      La tangente T à la courbe Cf au point B d'abscisse 1 a pour équation y==x+1.


    2. Que représente le point B pour la courbe Cf ?

      En 1, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe, donc la courbe Cf admet le point B(1;2) comme point d'inflexion.


Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

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