contrôle du 01 février 2013

exercice 1

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois propositions est exacte. Recopier sur la copie la question complétée par la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse inexacte enlève 0 , 5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points est négatif, la note est ramenée à 0.

1. Pour tout réel x, on a …

   ${\mathrm{e}}^{\ln x}=x$

   $\ln \left({\mathrm{e}}^x\right)=x$

   ${\left(\ln \mathrm{e}\right)}^x=x$

2. Pour tous réels a et b strictements positifs, …

   ${\displaystyle \frac{\ln \left({\mathrm{e}}^a\right)}{\ln b}}=a-\ln b$

   $\ln \left({\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^a}{b}}\right)=a-\ln b$

   ${\displaystyle \frac{\ln a}{\ln b}}={\displaystyle \frac{a}{b}}$

3. L'ensemble solution de l'équation $2\ln \left(x\right)-3=0$ est …

   $S=\left\{{\displaystyle \frac{3\mathrm{e}}{2}}\right\}$

   $S=\left\{{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^3}{2}}\right\}$

   $S=\left\{\sqrt{{\mathrm{e}}^3}\right\}$

4. L'ensemble solution de l'inéquation ${\displaystyle \frac{3}{{\mathrm{e}}^x}}-{\left({\mathrm{e}}^x\right)}^2⩾0$ est l'intervalle …

   $I=\left]-\infty ;{\displaystyle \frac{\ln 3}{3}}\right]$

   $I=\left[{\displaystyle \frac{\ln 3}{3}};+\infty \right[$

   $I=\left]-\infty ;\ln \left({\displaystyle \frac{2}{3}}\right)\right]$

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exercice 2

Une entreprise produit des articles, dont certains sont défectueux à cause de deux défauts possibles, un défaut d'assemblage ou un défaut de finition, à l'exclusion de tout autre défaut.

Une étude statistique a permis de constater que sur l'ensemble de la production :

• 9 % des articles présentent les deux défauts.
• 15 % des articles présentent un défaut d'assemblage.
• 4 % des articles n'ayant pas un défaut d'assemblage ont un défaut de finition.

On choisit un article au hasard et on note :

• A l'évènement : « l'article a un défaut d'assemblage » ;
• F l'évènement : « l'article a un défaut de finition ».

1. 1. Préciser les valeurs des probabilités $p\left(A\right)$, $p\left(A\cap F\right)$ et $p_{\overline{A}}\left(F\right)$

   2. Calculer la probabilité pour que l'article présente un défaut de finition mais pas le défaut  d'assemblage.

   3. Calculer $p\left(F\right)$.

   4. Calculer la probabilité de l'évènement $A\cup F$ : « l'article est de fabrication défectueuse ».

2. On prélève au hasard n articles. On suppose que le nombre d'articles est suffisamment grand pour assimiler ce prélèvement à des tirages successifs indépendants avec remise.

   1. On note $p_n$ la probabilité que l'un au moins de ces n articles soit défectueux. Justifier que $p_n=1-{\mathrm{0,816}}^n$.

   2. Quel est le nombre minimal d'articles qu'il faut prélever pour que la probabilité que l'un au moins de ces articles soit défectueux soit supérieure à 0,98 ?

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exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x strictement positif par $f\left(x\right)=x\times \left(x-2\ln \left(x\right)+1\right)$.

partie a

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ où $f\prime$ est la dérivée de la fonction f.

2. Calculer $f\prime \prime \left(x\right)$ où $f\prime \prime$ est la dérivée seconde de la fonction f.

3. 1. Étudier les variations de la fonction $f\prime$.

   2. Préciser la convexité de la fonction f suivant les valeurs du réel x.

4. En utilsant les résultats de la question 3. a, montrer que la fonction f est strictement croissante.

partie b

La courbe représentative de la fonction f, notée $C_f$, est tracée ci-dessous, ainsi que la droite d tangente à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 2.

1. La droite d passe-t-elle par l'origine du repère ?

2. 1. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 1.
      Tracer sur le graphique précédent, la tangente T.

   2. Que représente le point B pour la courbe $C_f$ ?

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