contrôle du 01 mars 2013

Corrigé de l'exercice 2

1. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous.

   • 20 % films français de court métrage sont aidés en production d'où $p\left(S\right)=\mathrm{0,2}$.
   • L'animation représente 22,5 % des films aidés en production, contre seulement 6,9 % des films qui ne sont pas aidés en production d'où $p_S\left(A\right)=\mathrm{0,225}$ et $p_{\overline{S}}\left(A\right)=\mathrm{0,069}$.

   L'arbre de probabilités traduisant la situation est donc :

2. Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un court métrage d'animation qui a bénéficié d'une aide à la production.

   $p\left(A\cap S\right)=p_S\left(A\right)\times p\left(S\right)$ soit $p\left(A\cap S\right)=\mathrm{0,225}\times \mathrm{0,2}=\mathrm{0,045}$

   La probabilité que la fiche soit celle d'un court métrage d'animation qui a bénéficié d'une aide à la production est égale à 0,045.

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3. Montrer que la probabilité que la fiche soit celle d'un court métrage d'animation est égale à 0,1.

   Les évènements S et A sont relatifs à la même épreuve, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(A\right)=p\left(A\cap S\right)+p\left(A\cap \overline{S}\right)$$

   Or $p\left(A\cap \overline{S}\right)=p_{\overline{S}}\left(A\right)\times p\left(\overline{S}\right)$ avec $p\left(\overline{S}\right)=1-p\left(S\right)$. D'où $p\left(A\cap \overline{S}\right)=\mathrm{0,069}\times \left(1-\mathrm{0,2}\right)\approx \mathrm{0,055}$. Donc $$p\left(A\right)=\mathrm{0,045}+\mathrm{0,055}=\mathrm{0,1}$$

   La probabilité de consulter la fiche d'un court métrage d'animation est égale à 0,1.

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4. La fiche est celle d'un court métrage d'animation, quelle est la probabilité que ce soit celle d'un film ayant bénéficié d'une aide à la production ?

   $p_A\left(S\right)={\displaystyle \frac{p\left(A\cap S\right)}{p\left(A\right)}}$ soit $p_A\left(S\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,045}}{\mathrm{0,1}}}=\mathrm{0,45}$

   La probabilité de consulter la fiche d'un film ayant bénéficié d'une aide à la production sachant qu'il s'agit d'un court métrage d'animation est égale à 0,45.

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5. On consulte au hasard et de façon indépendante n fiches de films français de court métrage réalisés en 2011.
   On note $p_n$ la probabilité qu'au moins une de ces fiches soit celle d'un court métrage d'animation. Déterminer le plus petit entier n pour lequel $p_n⩾\mathrm{0,9}$.

   Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de court métrage d'animation. La loi de probabilité de X est une loi binomiale de paramètres n et 0,1.

   L'évènement « au moins un court métrage est un film d'animation » est l'évènement contraire de l'évènement « aucun court métrage n'est un film d'animation ». D'où : $$\begin{array}{ccc}{p}_n=1-p\left(X=0\right)& \text{Soit}& p_n=1-{\left(1-\mathrm{0,1}\right)}^n=1-{\mathrm{0,9}}^n\end{array}$$

   Il s'agit de déterminer le plus petit entier n tel que $1-{\mathrm{0,9}}^n⩾\mathrm{0,9}$.

   $$\begin{array}{llll}1-{\mathrm{0,9}}^n⩾\mathrm{0,9}& \iff & -{\mathrm{0,9}}^n⩾-\mathrm{0,1}\hfill & \\ & \iff & {\mathrm{0,9}}^n⩽\mathrm{0,1}\hfill & \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{0,9}}^n\right)⩽\ln \mathrm{0,1}\hfill & \text{La fonction }\ln \text{ est strictement croissante}\\ & \iff & n\times \ln \mathrm{0,9}⩽\ln \mathrm{0,1}\hfill & \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,1}}{\ln \mathrm{0,9}}}\hfill & \ln \mathrm{0,9}<0\end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \mathrm{0,1}}{\ln \mathrm{0,9}}}\approx \mathrm{21,8}$, le plus petit entier n tel que $1-{\mathrm{0,9}}^n⩾\mathrm{0,9}$ est $n=22$.

   Il faut consulter au moins 22 fiches pour que la probabilité que l'une au moins de ces fiches soit celle d'un film d'animation soit supérieure à 0,9.

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