contrôle du 01 mars 2013

Corrigé de l'exercice 3

partie a

On considère la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+x$

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

   $$f\prime \left(x\right)=2\times \left(-\mathrm{0,5}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+1=-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+1$$

   $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$

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2. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.

   Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. Or : $$\begin{array}{ccc}1-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}⩽0& \iff & {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}⩾1\hfill \\ & \iff & -\mathrm{0,5}x⩾0\hfill \\ & \iff & x⩽0\hfill \end{array}$$

   D'où le tableau de variations de la fonction f :

   x	$-\infty$		0		$+\infty$
   $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$			2

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   Le minimum de la fonction $f$ est atteint pour $x=0$ et $f\left(0\right)=2$

partie b

On considère maintenant la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$ .

1. Montrer que $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

   $$F\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{2x}{2}}-4\times \left(-\mathrm{0,5}\right)\times {\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=x+2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}=f\left(x\right)$$

   Pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de la fonction f sur $ℝ$

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2. Étudier les variations de la fonction F.

   Le minimum de la fonction $f$ est atteint pour $x=0$ et $f\left(0\right)=2$ donc pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)>0$

   Pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)>0$ donc la fonction F est strictement croissante sur $ℝ$.

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3. Montrer que l'équation $F\left(x\right)=0$ a une solution unique α dans $ℝ$, avec α appartenant à l'intervalle $\left[1;2\right]$.
   Donner une valeur arrondie au dixième près de α.

   $F\left(1\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}}\approx -\mathrm{1,9}$ et $F\left(2\right)=2-4{\mathrm{e}}^{-1}\approx \mathrm{0,5}$

   La fonction F est dérivable donc continue, strictement croissante sur $ℝ$ et $F\left(1\right)<0<F\left(2\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   l'équation $F\left(x\right)=0$ admet une unique solution $\alpha \in \left[1;2\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{1,8}$

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4. Étudier la convexité de la fonction F.

   Pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$. D'après les variations de la fonction f étudiées dans la partie A, nous pouvons déduire :

   • Sur l'intervalle $\left]-\infty ;0\right]$, la dérivée $F\prime$ est décroissante donc la fonction F est concave sur cet intervalle.
   • Sur l'intervalle $\left[0;+\infty \right[$, la dérivée $F\prime$ est croissante donc la fonction F est convexe sur cet intervalle.

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5. La courbe représentative de de la fonction F a-t-elle un point d'inflexion ?

   Pour tout réel x, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc $F^{″}\left(x\right)=f\prime \left(x\right)$

   En 0, la dérivée seconde de la fonction F s'annule en changeant de signe, donc la courbe représentative de de la fonction F admet le point de coordonnées $\left(0;-4\right)$ comme point d'inflexion.

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partie c

1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

   Comme F est une primitive de la fonction f, $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& {\displaystyle {\left[{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}\right]}_{-2}^2}\hfill \\ & =& \left(2-4{\mathrm{e}}^{-1}\right)-\left(2-4\mathrm{e}\right)\hfill \\ & =& 4\mathrm{e}-{\displaystyle \frac{4}{\mathrm{e}}}\hfill \end{array}$$

   $I={\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}=4\mathrm{e}-{\displaystyle \frac{4}{\mathrm{e}}}$

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2. On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées).
   Calculer une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près de l'aire en cm² de la portion du plan coloriée.

   La fonction f est positive. Donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droitres d'équation $x=-2$ et $x=2$ est égale à l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ Soit $\left(4\mathrm{e}-{\displaystyle \frac{4}{\mathrm{e}}}\right)$ unités d'aire.

   Comme l'unité d'aire est celle d'un rectangle de 2 cm², l'aire du domaine colorié est en cm² : $$2\times \left(4\mathrm{e}-{\displaystyle \frac{4}{\mathrm{e}}}\right)\approx \mathrm{18,8}$$

   Arrondie au centième près, l'aire du domaine colorié est 18,8 cm².

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