contrôles en terminale ES

contrôle du 01 mars 2013

Corrigé de l'exercice 3

partie a

On considère la fonction f définie sur par fx=2e-0,5x+x

  1. Calculer fx.

    fx=2×-0,5×e-0,5x+1=-e-0,5x+1

    f est la fonction définie pour tout réel x par fx=1-e-0,5x


  2. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.

    Les variations de f se déduisent du signe de sa dérivée. Or : 1-e-0,5x0e-0,5x1-0,5x0x0

    D'où le tableau de variations de la fonction f :

    x- 0 +
    fx 0||+ 
    fx  fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    2

    fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur. 

    Le minimum de la fonction f est atteint pour x=0 et f0=2

partie b

On considère maintenant la fonction F définie sur par Fx=x22-4e-0,5x .

  1. Montrer que Fx=fx.

    Fx=2x2-4×-0,5×e-0,5x=x+2e-0,5x=fx

    Pour tout réel x, Fx=fx donc F est une primitive de la fonction f sur


  2. Étudier les variations de la fonction F.

    Le minimum de la fonction f est atteint pour x=0 et f0=2 donc pour tout réel x, Fx>0

    Pour tout réel x, Fx>0 donc la fonction F est strictement croissante sur .


  3. Montrer que l'équation Fx=0 a une solution unique α dans , avec α appartenant à l'intervalle 12.
    Donner une valeur arrondie au dixième près de α.

    F1=12-4e-0,5-1,9 et F2=2-4e-10,5

    La fonction F est dérivable donc continue, strictement croissante sur et F1<0<F2 alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire :Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle ab, alors pour tout réel k compris entre fa et fb, l'équation fx=k admet une solution unique α située dans l'intervalle ab.

    l'équation Fx=0 admet une unique solution α12. À l'aide de la calculatrice, on trouve α1,8


  4. Étudier la convexité de la fonction F.

    Pour tout réel x, Fx=fx. D'après les variations de la fonction f étudiées dans la partie A, nous pouvons déduire :

    • Sur l'intervalle -0, la dérivée F est décroissante donc la fonction F est concave sur cet intervalle.
    • Sur l'intervalle 0+, la dérivée F est croissante donc la fonction F est convexe sur cet intervalle.

  5. La courbe représentative de de la fonction F a-t-elle un point d'inflexion ?

    Pour tout réel x, Fx=fx donc Fx=fx

    En 0, la dérivée seconde de la fonction F s'annule en changeant de signe, donc la courbe représentative de de la fonction F admet le point de coordonnées 0-4 comme point d'inflexion.


partie c

  1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale I=-22fxdx

    Comme F est une primitive de la fonction f, -22fxdx=x22-4e-0,5x-22=2-4e-1-2-4e=4e-4e

    I=-22fxdx=4e-4e


  2. On note Cf la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées).
    Calculer une valeur approchée à 10-2 près de l'aire en cm2 de la portion du plan coloriée.

    Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

    La fonction f est positive. Donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe Cf, l'axe des abscisses et les droitres d'équation x=-2 et x=2 est égale à l'intégrale I=-22fxdx Soit 4e-4e unités d'aire.

    Comme l'unité d'aire est celle d'un rectangle de 2 cm2, l'aire du domaine colorié est en cm2 : 2×4e-4e18,8

    Arrondie au centième près, l'aire du domaine colorié est 18,8 cm2.



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