contrôle du 01 mars 2013

exercice 1

1. Soit f la fonction définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2-2x+{\displaystyle \frac{2}{x}}-1$. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_1^{4}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

2. Calculer la valeur moyenne de la fonction f définie par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{2}{x^2}}-1$ sur l'intervalle $\left[2;6\right]$.

3. Calculer l'intégrale $J={\displaystyle {\int }_{-2}^2{\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}\mathrm{d}x}$.
   Peut-on en déduire que la fonction f définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}$ est constante sur l'intervalle $\left[-2;2\right]$ ?

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exercice 2

Selon une étude réalisée par le CNC (centre national du cinéma) :
« en 2011, 20 % films français de court métrage sont aidés en production.
L'animation apparait comme un genre majeur parmi les films aidés en production : elle représente 22,5 % des films, contre seulement 6,9 % des films qui ne sont pas aidés en production.»

On consulte au hasard la fiche d'un film français de court métrage réalisé en 2011 et on note :

• S : l'évènement « le court métrage a bénéficié d'une aide à la production » ;
• A : l'évènement « le court métrage est un film d'animation ».

Les résultats seront donnés sous forme décimale, éventuellement arrondis au millième.

1. Reproduire et compléter l'arbre de probabilités donné ci-dessous.

2. Calculer la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un court métrage d'animation qui a bénéficié d'une aide à la production.

3. Montrer que la probabilité que la fiche choisie soit celle d'un court métrage d'animation est égale à 0,1.

4. La fiche choisie est celle d'un court métrage d'animation, quelle est la probabilité que ce soit celle d'un film ayant bénéficié d'une aide à la production ?

5. On consulte au hasard et de façon indépendante n fiches de films français de court métrage réalisés en 2011.
   On note $p_n$ la probabilité qu'au moins une de ces fiches soit celle d'un court métrage d'animation.
   Déterminer le plus petit entier n pour lequel $p_n⩾\mathrm{0,9}$.

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exercice 3

partie a

On considère la fonction f définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=2{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}+x$

1. Calculer $f\prime \left(x\right)$.

2. Étudier les variations de f et dresser le tableau de variation de f.

partie b

On considère maintenant la fonction F définie sur $ℝ$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{2}}-4{\mathrm{e}}^{-\mathrm{0,5}x}$ .

1. Montrer que $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$.

2. Étudier les variations de la fonction F.

3. Montrer que l'équation $F\left(x\right)=0$ a une solution unique α dans $ℝ$, avec α appartenant à l'intervalle $\left[1;2\right]$.
   Donner une valeur arrondie au dixième près de α.

4. Étudier la convexité de la fonction F.

5. La courbe représentative de de la fonction F a-t-elle un point d'inflexion ?

partie c

1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale $I={\displaystyle {\int }_{-2}^{2}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$

2. On note $C_f$ la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées).

   Calculer une valeur approchée à ${10}^{-2}$ près de l'aire en cm² de la portion du plan coloriée.

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