contrôle du 04 novembre 2014

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3}{x^2-2x+4}}$. On note $C_f$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f

   1. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et vérifier que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2\left(x^2-4x+12\right)}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}}$.

      f est dérivable comme quotient de deux fonctions dérivables. $f={\displaystyle \frac{u}{v}}$ d'où $f\prime ={\displaystyle \frac{u\prime v-uv\prime }{v^2}}$ avec pour tout réel x : $\{\begin{array}{lll}u\left(x\right)=x^3& \text{d'où}& u\prime \left(x\right)=3x^2\\ & \text{et}& \\ v\left(x\right)=x^2-2x+4& \text{d'où}& v\prime \left(x\right)=2x-2\end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{cccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{3x^2\times \left(x^2-2x+4\right)-x^3\times \left(2x-2\right)}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}}\hfill & \\ & =& {\displaystyle \frac{3x^4-6x^3+12x^2-2x^4+2x^3}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}}\hfill & \\ & =& {\displaystyle \frac{x^4-4x^3+12x^2}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}}\hfill & \\ & =& {\displaystyle \frac{x^2\left(x^2-4x+12\right)}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}}\hfill & \end{array}$$

      $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2\left(x^2-4x+12\right)}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}}$.

      ---

   2. Étudier les variations de la fonction f.

      • Le discriminant du trinôme $x^2-2x+4$ est $\mathrm{\Delta }={\left(-2\right)}^2-4\times 1\times 4=-12$ d'où, pour tout réel x, $x^2-2x+4>0$.

      • Le discriminant du trinôme $x^2-4x+12$ est $\mathrm{\Delta }={\left(-4\right)}^2-4\times 1\times 12=-32$ d'où, pour tout réel x, $x^2-4x+12>0$.

      Par conséquent, pour tout réel x, ${\displaystyle \frac{x^2\left(x^2-4x+12\right)}{{\left(x^2-2x+4\right)}^2}}⩾0$

      Pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)⩾0$ donc f est une fonction croissante.

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2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 2. Tracer la tangente T dans le repère précédent.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 2 est :$$y=f\prime \left(2\right)\times \left(x-2\right)+f\left(2\right)$$

   Or $f\left(2\right)={\displaystyle \frac{2^3}{2^2-2\times 2+4}}=2$ et $f\prime \left(2\right)={\displaystyle \frac{2^2\times \left(2^2-4\times 2+12\right)}{{\left(2^2-2\times 2+4\right)}^2}}=2$ donc la tangente T à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 2 a pour équation : $$y=2\times \left(x-2\right)+2\iff y=2x-2$$

   La tangente à la courbe au point d'abscisse 2 a pour équation $y=2x-2$.

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   La tangente T passe par le point A et coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $\left(0;-2\right)$

3. La dérivée seconde de la fonction f est définie pour tout réel x par $f″\left(x\right)={\displaystyle \frac{-48x^2+96x}{{\left(x^2-2x+4\right)}^3}}$.

   1. Étudier la convexité de la fonction f.

      Pour tout réel x, $${\displaystyle \frac{-48x^2+96x}{{\left(x^2-2x+4\right)}^3}}={\displaystyle \frac{48x\times \left(2-x\right)}{{\left(x^2-2x+4\right)}^3}}$$

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde.

      Comme pour tout réel x, $x^2-2x+4>0$, on en déduit que $f″\left(x\right)$ est du même signe que $-48x^2+96x$ :

      x	$-\infty$		0		2		$+\infty$
      $f″\left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−

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      Sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;0\right]$ ou $\left[2;+\infty \right[$, la fonction f est concave.
      Sur l'intervalle $\left[0;2\right]$, la fonction f est convexe.

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   2. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ?

      La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour $x=0$ et $x=2$ donc :

      la courbe $C_f$ admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives 0 et 2.

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