contrôle du 22 novembre 2014

Corrigé de l'exercice 1

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une réponse fausse enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

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1. La courbe ${𝒞}_f$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point $A\left(1;\mathrm{e}\right)$ a pour équation $y={\mathrm{e}}^2+\mathrm{e}-{\mathrm{e}}^{2}x$.

   Le nombre dérivé de f en 1 est :

   Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse 1 d'où $f\prime \left(1\right)=-{\mathrm{e}}^2$

   a.   $f\prime \left(1\right)={\mathrm{e}}^{-2}$

   b.  $f\prime \left(1\right)=\mathrm{e}$

   c.   $f\prime \left(1\right)=-{\mathrm{e}}^2$

   d.   $f\prime \left(1\right)={\mathrm{e}}^2+\mathrm{e}$

2. On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction g définie et dérivable sur $\left[0;5\right]$ ainsi que sa tangente horizontale au point A d'abscisse 2.

   Le signe de la fonction dérivée de g est :

   Par lecture graphique, le tableau des variations de la fonction g est :

   x	0		2		5
   $g\left(x\right)$			− 0,5

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   Nous pouvons en déduire que $g\prime \left(x\right)⩽0$ sur l'intervalle $\left[0;2\right]$ et $g\prime \left(x\right)⩾0$ sur l'intervalle $\left[2;5\right]$

   a.   négatif sur $\left[1;5\right]$

   b.   positif sur $\left[2;5\right]$

   c.   positif sur $\left[0;1\right]$

   d.   change en $x=1$

3. Le 13 juin 2014, le cours du Pétrole Brent était de 113,5 $, contre 77,8 $ le 13 novembre 2014.
   Entre ces deux dates, le pourcentage mensuel moyen de la baisse du cours du Pétrole Brent est d'environ :

   Soit t % le pourcentage mensuel moyen d'évolution du prix du Pétrole Brent sur la période de 5 mois: $$\begin{array}{ccc}\mathrm{113,5}\times {\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^5=\mathrm{77,8}& \iff & {\left(1+{\displaystyle \frac{t}{100}}\right)}^5={\displaystyle \frac{\mathrm{77,8}}{\mathrm{113,5}}}\hfill \\ & \iff & 1+{\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{77,8}}{\mathrm{113,5}}}\right)}^{{\displaystyle \frac{1}{5}}}\hfill \\ & \iff & {\displaystyle \frac{t}{100}}={\left({\displaystyle \frac{\mathrm{77,8}}{\mathrm{113,5}}}\right)}^{\mathrm{0,2}}-1\hfill \\ & \text{Soit}& t\approx -\mathrm{7,28}\hfill \end{array}$$

   Le cours du Pétrole Brent a baissé d'environ 7,28 % par mois entre le 13 juin 2014 et le 13 novembre 2014.

   a.   6,29 %

   b.   7,28 %

   c.   7,85 %

   d.   9,18 %

4. L'ensemble S des solutions de l'équation ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2x^2+1}}{{\mathrm{e}}^{x+2}}}=1$ est :

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2x^2+1}}{{\mathrm{e}}^{x+2}}}=1& \iff & {\mathrm{e}}^{2x^2+1-\left(x+2\right)}=1\hfill \\ & \iff & {\mathrm{e}}^{2x^2-x-1}={\mathrm{e}}^0\hfill \\ & \iff & 2x^2-x-1=0\hfill \end{array}$$

   Cherchons les solutions de l'équation du second degré $2x^2-x-1=0$ avec $a=2$, $b=-1$ et $c=-1$. Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }={\left(-1\right)}^2-4\times 2\times \left(-1\right)=9\end{array}$$

   $\mathrm{\Delta }>0$ donc l'équation a deux solutions : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{1-3}{4}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{1+3}{4}}=1\end{array}$$

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   a.   $S=\left\{0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}$

   b.   $S=\left\{-{\displaystyle \frac{1}{2}};0\right\}$

   c.   $S=\left\{-{\displaystyle \frac{1}{2}};1\right\}$

   d.   $S=\left\{-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}$

5. L'ensemble I des solutions de l'inéquation ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}⩾\mathrm{e}$ est :

   ${\displaystyle \frac{1}{x}}$ n'est pas définie en 0. Par conséquent, l'inéquation ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}⩾\mathrm{e}$ n'est pas définie pour $x=0$.

   Pour tout réel x non nul, $$\begin{array}{cccc}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}⩾\mathrm{e}& \iff & {\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}⩾{\mathrm{e}}^1& \\ & \iff & {\displaystyle \frac{1}{x}}⩾1& \text{La fonction exponentielle est strictement croissante}\\ & \iff & {\displaystyle \frac{1-x}{x}}⩾0& \end{array}$$

   Étudions le signe du quotient à l'aide d'un tableau de signes

   x	$-\infty$		0		1		$+\infty$
   Signe de x		−		+	$|$	+
   Signe de $\left(1-x\right)$		+		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   Signe de ${\displaystyle \frac{1-x}{x}}$		−		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−

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   L'ensemble des solutions de l'inéquation ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}⩾\mathrm{e}$ est l'intervalle $\left]0;1\right]$

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   a.   $I=\left]0;1\right]$

   b.   $I=\left[1;+\infty \right[$

   c.   $I=\left]-\infty ;0\right[$

   d.   $I=\left]-\infty ;1\right]$

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