contrôle du 22 novembre 2014

Corrigé de l'exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(2x^2-3x+2\right){\mathrm{e}}^x$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est donnée ci-dessous.

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f

   1. Montrer que pour tout réel pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=\left(2x^2+x-1\right){\mathrm{e}}^x$.

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=2x^2-3x+2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=4x-3\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& \left(4x-3\right){\mathrm{e}}^x+\left(2x^2-3x+2\right){\mathrm{e}}^x\hfill \\ & =& \left(4x-3+2x^2-3x+2\right){\mathrm{e}}^x\hfill \\ & =& \left(2x^2+x-1\right){\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x par $f\prime \left(x\right)=\left(2x^2+x-1\right){\mathrm{e}}^x$

      ---

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ selon les valeurs de x.

      Pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^x>0$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que le polynôme du second degré $2x^2+x-1$ avec $a=2$, $b=1$ et $c=-1$.

      Le discriminant du trinôme est $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ d'où : $$\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }=1-4\times 2\times \left(-1\right)=9\end{array}$$

      $\mathrm{\Delta }>0$ donc le polynôme a deux racines : $$\begin{array}{llll}& x_1={\displaystyle \frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_1={\displaystyle \frac{-1-3}{4}}=-1\\ \text{et}& x_2={\displaystyle \frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}}& \text{Soit}& x_2={\displaystyle \frac{-1+3}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\end{array}$$

      Comme $a>0$, le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ est :

      x	$-\infty$		$-1$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

      ---

   3. Dresser le tableau de variations de f.

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction f :

      x	$-\infty$		$-1$		${\displaystyle \frac{1}{2}}$		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
      $f\left(x\right)$			${\displaystyle \frac{7}{\mathrm{e}}}$		$\sqrt{\mathrm{e}}$

      ---

2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.
   Tracer la droite T dans le repère précédent.

   Une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

   Or $f\left(0\right)=2\times {\mathrm{e}}^0=2$ et $f\prime \left(0\right)=-1\times {\mathrm{e}}^0=-1$ d'où :

   La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=-x+2$.

   ---

3. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=5$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[1;2\right]$.
   À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à 10⁻² près de α.

   Sur l'intervalle $\left[1;2\right]$, la fonction f est dérivable donc continue et strictement croissante. D'autre part, $$\begin{array}{ccc}f\left(1\right)=\mathrm{e}& \text{et}& f\left(2\right)=4{\mathrm{e}}^2\end{array}$$

   Sur l'intervalle $\left[1;2\right]$, la fonction f est continue, strictement croissante et $f\left(1\right)<5<f\left(2\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire : Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$.

   l'équation $f\left(x\right)=5$ admet une unique solution $\alpha \in \left[1;2\right]$. À l'aide de la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{1,27}$

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4. On note $f″$ la fonction dérivée seconde de la fonction f.

   1. Calculer $f″\left(x\right)$.

      La fonction $f\prime$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f\prime =uv$ d'où $f″=u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=2x^2+x-1\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=4x+1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f″\left(x\right)& =& \left(4x+1\right){\mathrm{e}}^x+\left(2x^2+x-1\right){\mathrm{e}}^x\hfill \\ & =& \left(4x+1+2x^2+x-1\right){\mathrm{e}}^x\hfill \\ & =& \left(2x^2+5x\right){\mathrm{e}}^x\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f″$ est la fonction définie pour tout réel x par $f″\left(x\right)=\left(2x^2+5x\right){\mathrm{e}}^x$

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   2. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$.

      Comme pour tout réel x, $f″\left(x\right)=\left(2x^2+5x\right){\mathrm{e}}^x=x\left(2x+5\right){\mathrm{e}}^x$, nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f″\left(x\right)$ :

      x	$-\infty$		$-{\displaystyle \frac{5}{2}}$		0		$+\infty$
      $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

      ---

      La fonction f est convexe sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{5}{2}}\right]$ ou $\left[0;+\infty \right[$ et concave sur l'intervalle $\left[-{\displaystyle \frac{5}{2}};0\right]$.

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   3. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ?

      La courbe représentative de la fonction f admet deux points d'inflexion d'abscisses respectives $-{\displaystyle \frac{5}{2}}$ et 0.

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