contrôle du 22 novembre 2014

exercice 1

Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une bonne réponse rapporte un point. Une réponse fausse enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun. Si le total des points de l'exercice est négatif, la note est ramenée à 0.

1. La courbe ${𝒞}_f$ ci-dessous est la représentation graphique d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point $A\left(1;\mathrm{e}\right)$ a pour équation $y={\mathrm{e}}^2+\mathrm{e}-{\mathrm{e}}^{2}x$.

   Le nombre dérivé de f en 1 est :

   a.   $f\prime \left(1\right)={\mathrm{e}}^{-2}$

   b.  $f\prime \left(1\right)=\mathrm{e}$

   c.   $f\prime \left(1\right)=-{\mathrm{e}}^2$

   d.   $f\prime \left(1\right)={\mathrm{e}}^2+\mathrm{e}$

2. On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction g définie et dérivable sur $\left[0;5\right]$ ainsi que sa tangente horizontale au point A d'abscisse 2.

   Le signe de la fonction dérivée de g est :

   a.   négatif sur $\left[1;5\right]$

   b.   positif sur $\left[2;5\right]$

   c.   positif sur $\left[0;1\right]$

   d.   change en $x=1$

3. Le 13 juin 2014, le cours du Pétrole Brent était de 113,5 $, contre 77,8 $ le 13 novembre 2014.
   Entre ces deux dates, le pourcentage mensuel moyen de la baisse du cours du Pétrole Brent est d'environ :

   a.   6,29 %

   b.   7,28 %

   c.   7,85 %

   d.   9,18 %

4. L'ensemble S des solutions de l'équation ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{2x^2+1}}{{\mathrm{e}}^{x+2}}}=1$ est :

   a.   $S=\left\{0;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}$

   b.   $S=\left\{-{\displaystyle \frac{1}{2}};0\right\}$

   c.   $S=\left\{-{\displaystyle \frac{1}{2}};1\right\}$

   d.   $S=\left\{-1;{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}$

5. L'ensemble I des solutions de l'inéquation ${\mathrm{e}}^{\frac{1}{x}}⩾\mathrm{e}$ est :

   a.   $I=\left]0;1\right]$

   b.   $I=\left[1;+\infty \right[$

   c.   $I=\left]-\infty ;0\right[$

   d.   $I=\left]-\infty ;1\right]$

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exercice 2

Soit f la fonction définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$.
Déterminer les réels a, b et c sachant que $f\left(2\right)=0$, $f\left(-1\right)=3$ et $f\prime \left(1\right)=-3$.

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exercice 3

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par $f\left(x\right)=\left(2x^2-3x+2\right){\mathrm{e}}^x$. Sa courbe représentative notée $C_f$ est donnée ci-dessous.

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de la fonction f

   1. Montrer que pour tout réel pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=\left(2x^2+x-1\right){\mathrm{e}}^x$.

   2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ selon les valeurs de x.

   3. Dresser le tableau de variations de f.

2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0.
   Tracer la droite T dans le repère précédent.

3. Montrer que l'équation $f\left(x\right)=5$ admet une solution unique α dans l'intervalle $\left[1;2\right]$.
   À l'aide de la calculatrice, déterminer la valeur arrondie à 10⁻² près de α.

4. On note $f″$ la fonction dérivée seconde de la fonction f.

   1. Calculer $f″\left(x\right)$.

   2. Étudier la convexité de la fonction f.

   3. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ?

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