contrôle du 15 décembre 2014

Corrigé de l'exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

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La courbe ${𝒞}_f$ ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthonormé, d'une fonction f définie et dérivable sur $ℝ$.
La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse $-1$ a pour équation $y=5$.
La droite D est tangente à ${𝒞}_f$ au point B d'abscisse 2, seul point en lequel la courbe traverse la tangente.

1. On note $f″$ la dérivée seconde de la fonction f :

   La courbe ${𝒞}_f$ traverse sa tangente au point B d'abscisse 2 donc B est un point d'inflexion de la courbe. Par conséquent pour $x=2$, la dérivée seconde s'annule en changeant de signe.

   a.   $f″\left(2\right)<0$

   b.   $f″\left(2\right)=0$

   c.   $f″\left(2\right)>0$

   d.   $f″\left(2\right)>f″\left(3\right)$

2. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f :

   La tangente à la courbe ${𝒞}_f$ au point A d'abscisse $-1$ a pour équation $y=5$. Donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point A est nul.

   a.   $f\prime \left(-1\right)=5$

   b.   $f\prime \left(-1\right)=0$

   c.   $f\prime \left(2\right)=3$

   d.   $f\prime \left(2\right)=-1$

3. On peut affirmer que :

   • La fonction f est croissante sur l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ donc pour tout réel x de l'intervalle $\left]-\infty ;-1\right]$ on a $f\prime \left(x\right)⩾0$. D'où $f\prime \left(-2\right)⩾0$.

   • La fonction f est décroissante sur l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$ donc pour tout réel x de l'intervalle $\left[-1;+\infty \right[$ on a $f\prime \left(x\right)⩽0$. D'où $f\prime \left(1\right)⩽0$

   a.   $f\prime \left(-3\right)\times f\prime \left(-2\right)⩽0$

   b.   $f\prime \left(5\right)\times f\prime \left(6\right)⩽0$

   c.   $f\prime \left(-2\right)\times f\prime \left(3\right)⩾0$

   d.   $f\prime \left(-2\right)\times f\prime \left(1\right)⩽0$

4. Le tableau de variation de la fonction dérivée $f\prime$ est :

   La fonction f est concave sur l'intervalle $\left]-\infty ;2\right]$ et convexe sur l'intervalle $\left[2;+\infty \right[$

   a.	b.
   c.	d.

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