contrôle du 15 décembre 2014

Corrigé de l'exercice 4

partie a

1. La proposition « L'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions.» est-elle vraie ou fausse ?

   La fonction exponentielle est strictement positive sur $ℝ$. Par conséquent, pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}>0$.

   La proposition « L'équation $f\left(x\right)=0$ admet deux solutions.» est fausse.

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2. Déterminer $f\left(0\right)$ et $f\prime \left(0\right)$.

   • $f\left(0\right)={\mathrm{e}}^{u\left(0\right)}$. Or par lecture graphique, $u\left(0\right)=0$. Donc $f\left(0\right)={\mathrm{e}}^0=1$

     ---

   • La fonction polynôme du second degré u est dérivable sur $ℝ$. Par conséquent, la fonction f est dérivable sur $ℝ$ et, pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=u\prime \left(x\right)\times {\mathrm{e}}^{u\left(x\right)}$.
     D'où, $f\prime \left(0\right)=u\prime \left(0\right)\times {\mathrm{e}}^{u\left(0\right)}$.

     Le nombre dérivé $u\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente à la parabole $C_u$ au point d'abscisse 0.
     Comme cette tangente passe par l'origne du repère et par le point de coordonnées $\left(-1;-1\right)$, on en déduit que $u\prime \left(0\right)=1$

     Ainsi, $f\prime \left(0\right)=1$.

     ---

3. Donner le tableau de variation de la fonction f.

   Les fonctions u et ${\mathrm{e}}^u$ ont les mêmes variations sur tout intervalle où la fonction u est définie. D'où le tableau de variation de la fonction f :

   x	$-\infty$		1		$+\infty$
   $f\left(x\right)$			$\sqrt{\mathrm{e}}$

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partie b

On admet dans cette partie, que la fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}$. On note $C_f$ sa courbe représentative.

1. Résoudre dans $ℝ$, l'équation $f\left(x\right)=1$.

   Pour tout réel x, $$\begin{array}{lll}{\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}=1& \iff & {\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}={\mathrm{e}}^0\\ & \iff & x-\mathrm{0,5}{x}^2=0\\ & \iff & x\left(1-\mathrm{0,5}x\right)=0\\ & \text{Soit}& x=0\text{ ou }x=2\end{array}$$

   L'ensemble des solutions de l'équation $f\left(x\right)=1$ est $S=\left\{0;1\right\}$.

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2. Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant :

   dériver $\exp \left(x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right)$
   	$\left(1-x\right)\exp \left(x-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}\right)$

   1. Déterminer une équation de la tangente $T_A$ à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 0.

      D'après le résultat obtenu à l'aide du logiciel de calcul formel : $$f\prime \left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}$$

      Une équation de la tangente $T_A$ à la courbe $C_f$ au point A d'abscisse 0 est :$$y=f\prime \left(0\right)\times x+f\left(0\right)$$

      Or $f\left(0\right)=1$ et $f\prime \left(0\right)=1\times {\mathrm{e}}^0=1$ d'où :

      La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 0 a pour équation $y=x+1$.

      ---

   2. Déterminer une équation de la tangente $T_B$ à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 2.

      Une équation de la tangente $T_B$ à la courbe $C_f$ au point B d'abscisse 2 est :$$y=f\prime \left(2\right)\times \left(x-2\right)+f\left(2\right)$$

      Or $f\left(2\right)=1$ et $f\prime \left(2\right)=\left(1-2\right)\times {\mathrm{e}}^0=-1$ d'où :$$\begin{array}{ccc}y=-1\times \left(x-2\right)+1& \iff & y=-x+3\end{array}$$

      La tangente à la courbe $C_f$ au point d'abscisse 2 a pour équation $y=-x+3$.

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3. On note $f″$ la fonction dérivée seconde de la fonction f.

   1. Calculer $f″\left(x\right)$.

      La fonction $f\prime$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables : $f\prime =uv$ d'où $f″=u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=1-x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=-1\hfill \\ v\left(x\right)={\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x, $$\begin{array}{ccc}f″\left(x\right)& =& -{\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}+\left(1-x\right)\times \left(1-x\right){\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}\hfill \\ & =& \left({\left(1-x\right)}^2-1\right){\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}\hfill \\ & =& \left(x^2-2x\right){\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f″$ est la fonction définie pour tout réel x par $f″\left(x\right)=\left(x^2-2x\right){\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}$

      ---

   2. Étudier la convexité de la fonction f.

      La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$.

      Or pour tout réel x, $$f″\left(x\right)=\left(x^2-2x\right){\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}=x\left(x-2\right){\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}$$

      Comme pour tout réel x, ${\mathrm{e}}^{x-\mathrm{0,5}{x}^2}>0$ nous pouvons en déduire le tableau du signe de $f″\left(x\right)$ :

      x	$-\infty$		0		2		$+\infty$
      $f″\left(x\right)$		+	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	−	$\underset{\mathbf{\left|}}{\overset{\mathbf{\right|}}{0}}$	+

      ---

      La fonction f est convexe sur chacun des intervalles $\left]-\infty ;0\right]$ ou $\left[2;+\infty \right[$ et concave sur l'intervalle $\left[0;2\right]$.

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   3. La courbe représentative de la fonction f admet-elle des points d'inflexion ?

      La fonction f change de convexité pour $x=0$ et $x=2$.

      La courbe $C_f$ admet deux points d'inflexion $A\left(0;1\right)$ et $B\left(2;1\right)$.

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4. Tracer dans le repère fourni en annexe la courbe $C_f$ représentative de la fonction f. On placera les points d'abscisses 0, 1, 2 et on tracera les tangentes à la courbe en ces points.

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