contrôle du 15 décembre 2014

Corrigé de l'exercice 3

partie a

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0=15$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{1,04}{u}_n-\mathrm{0,5}$.

1. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n=u_n-\mathrm{12,5}$.

   1. Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

      Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}-\mathrm{12,5}\\ & =& \mathrm{1,04}{u}_n-\mathrm{0,5}-\mathrm{12,5}\\ & =& \mathrm{1,04}{u}_n-13\\ & =& \mathrm{1,04}\times \left(u_n-\mathrm{12,5}\right)\\ & =& \mathrm{1,04}{v}_n\end{array}$$

      Pour tout entier n, $v_{n+1}=\mathrm{1,04}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,04. D'autre part, $$\begin{array}{ccc}{v}_0=u_0-\mathrm{12,5}& \text{soit}& v_0=15-\mathrm{12,5}=\mathrm{2,5}\end{array}$$

      Ainsi, $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme $v_0=\mathrm{2,5}$.

      ---

   2. Exprimer $v_n$ en fonction de n.
      En déduire que, pour tout nombre entier naturel n, $u_n=\mathrm{2,5}\times {\mathrm{1,04}}^n+\mathrm{12,5}$.

      $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme $v_0=\mathrm{2,5}$ alors pour tout entier n, $v_n=\mathrm{2,5}\times {\mathrm{1,04}}^n$

      D'autre part, pour tout entier n, $v_n=u_n-\mathrm{12,5}$ d'où $u_n=v_n+\mathrm{12,5}$.

      Donc pour tout entier n, $u_n=\mathrm{2,5}\times {\mathrm{1,04}}^n+\mathrm{12,5}$.

      ---

2. Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante.

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{u}_{n+1}-u_n& =& \left(\mathrm{2,5}\times {\mathrm{1,04}}^{n+1}+\mathrm{12,5}\right)-\left(\mathrm{2,5}\times {\mathrm{1,04}}^n+\mathrm{12,5}\right)\\ & =& \mathrm{2,5}\times {\mathrm{1,04}}^{n+1}-\mathrm{2,5}\times {\mathrm{1,04}}^n\\ & =& \mathrm{2,5}\times {\mathrm{1,04}}^n\times \left(\mathrm{1,04}-1\right)\\ & =& \mathrm{2,5}\times {\mathrm{1,04}}^n\times \mathrm{0,04}\\ & =& \mathrm{0,1}\times {\mathrm{1,04}}^n\end{array}$$

   Or pour tout entier n, ${\mathrm{1,04}}^n>0$, d'où $u_{n+1}-u_n>0$.

   Pour tout entier n, $u_{n+1}-u_n>0$ donc la suite $\left(u_n\right)$ est strictement croissante.

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3. Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.

   $\mathrm{1,04}>1$ donc $\underset{n\to +\infty }{\lim }{\mathrm{1,04}}^n=+\infty$ d'où, $\underset{n\to +\infty }{\lim }\mathrm{2,5}\times {\mathrm{1,04}}^n+\mathrm{12,5}=+\infty$.

   Ainsi, $\underset{n\to +\infty }{\lim }{u}_n=+\infty$.

   ---

partie b

1. Déterminer la valeur de N affichée par cet algorithme.

   Le tableau suivant donne les valeurs, arrondies au millième près, des termes de la suite $\left(u_n\right)$ obtenus avec cet algorithme .

   N	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
   U	15	15,1	15,204	15,312	15,425	15,542	15,663	15,79	15,921	16,058
   Condition $U⩽16$	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	VRAI	FAUX

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   Le nombre affiché en sortie de l'algorithme est 9. Les travaux de réaménagement des locaux sont à prévoir pendant l'année 2018.

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2. Interpréter le résultat précédent.

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   La réorganisation des transports en commun sera nécessaire en 2023.

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