contrôle du 31 janvier 2015

Corrigé de l'exercice 2

Dans cet exercice, les résultats seront si nécessaire, arrondis au millième.

partie a

1. Calculer la probabilité que la fiche soit celle d'un client qui fait un usage professionnel du disque dur externe sachant qu'il l'utilise avec un ordinateur fixe.

   Il s'agit, de calculer la probabilité conditionnelle de l'évènement T sachant que l'évènement $\overline{M}$ est réalisé :$$\begin{array}{lll}{P}_{\overline{M}}\left(T\right)={\displaystyle \frac{P\left(\overline{M}\cap T\right)}{P\left(\overline{M}\right)}}& \text{Soit}& P_{\overline{M}}\left(T\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}}{1-\mathrm{0,65}}}=\mathrm{0,8}\end{array}$$

   La probabilité que la fiche soit celle d'un client qui fait un usage professionnel du disque dur externe sachant qu'il l'utilise avec un ordinateur fixe est égale à 0,8.

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2. Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.

3. Quelle est la probabilité que la fiche soit celle d'un client qui utilise le disque dur avec un ordinateur portable et pour un usage professionnel ?

   $$\begin{array}{ll}& P\left(M\cap T\right)=P_M\left(T\right)\times P\left(M\right)\\ \text{Soit}& P\left(M\cap T\right)=\mathrm{0,4}\times \mathrm{0,65}=\mathrm{0,26}\end{array}$$

   La probabilité qu'un client utilise le disque dur avec un ordinateur portable et pour un usage professionnel est égale à 0,26.

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4. Quelle est la probabilité que la fiche soit celle d'un client qui utilise le disque dur pour un usage professionnel ?

   Les évènements M et T sont relatifs à la même épreuve, d'après la formule des probabilités totales : $$\begin{array}{ccc}P\left(T\right)=P\left(T\cap M\right)+P\left(T\cap \overline{M}\right)& \text{Soit}& P\left(T\right)=\mathrm{0,26}+\mathrm{0,28}=\mathrm{0,54}\end{array}$$

   La probabilité que la fiche soit celle d'un client qui utilise le disque dur pour un usage professionnel est égale à 0,54.

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5. La fiche est celle d'un client qui utilise le disque dur pour un usage professionnel. Quelle est la probabilité que la fiche soit celle d'un client qui utilise le disque dur avec un ordinateur fixe ?

   $$\begin{array}{lll}{P}_T\left(\overline{M}\right)={\displaystyle \frac{P\left(\overline{M}\cap T\right)}{P\left(T\right)}}& \text{Soit}& P_T\left(\overline{M}\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,28}}{\mathrm{0,54}}}\approx \mathrm{0,519}\end{array}$$

   Arrondie au millième près, la probabilité qu'un client qui utilise le disque dur pour un usage professionnel l'utilise avec un ordinateur fixe est 0,519.

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partie b

Cette entreprise commercialise également un modèle B de disque dur mécanique. L'utilisation de ce modèle sur des serveurs a permis d'établir un taux de défaillance annuel de 2 %.
Un client commande 50 disques durs du modèle B. Le nombre de disques durs fabriqués est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler le choix des 50 disques durs à un tirage aléatoire avec remise.
On note X la variable aléatoire égale au nombre disques durs susceptibles d'être en panne pendant l'année.

1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.

   X suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=\mathrm{0,02}$.

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2. Calculer la probabilité $P\left(X=1\right)$ et interpréter le résultat à l'aide d'une phrase.

   $$P\left(X=1\right)=\left(\begin{array}{c}50\\ 1\end{array}\right)\times {\mathrm{0,02}}^1\times {\left(1-\mathrm{0,02}\right)}^{49}=50\times \mathrm{0,02}\times {\mathrm{0,98}}^{49}\approx \mathrm{0,372}$$

   La probabilité qu'un des disques durs achetés présente une défaillance au cours de l'année est, arrondie au millième près, égale à 0,372.

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3. Quelle est la probabilité qu'au moins un des disques durs achetés présente une défaillance au cours de l'année ?

   L'évènement « au moins un des disques durs achetés est défectueux » est l'évènement contraire de l'évènement « aucun un des disques durs achetés n'est défectueux ». D'où $$\begin{array}{ccc}P\left(X⩾1\right)& =& 1-P\left(X=0\right)\hfill \\ & =& 1-{\mathrm{0,98}}^{50}\approx \mathrm{0,636}\hfill \end{array}$$

   Arrondie au dix millième près, la probabilité qu'au moins un des disques durs achetés présente une défaillance au cours de l'année est 0,636.

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