contrôle du 31 janvier 2015

Corrigé de l'exercice 3

partie a

1. On note $f\prime$ la dérivée de la fonction f, déterminer $f\prime \left(1\right)$.

   Le nombre dérivé $f\prime \left(1\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe $C_f$ au point A : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}& \text{Soit}& f\prime \left(1\right)={\displaystyle \frac{-{\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{3}{2}}}{0-1}}=2\end{array}$$

   Ainsi, $f\prime \left(1\right)=2$.

   ---

2. Que représente le point A pour la courbe $C_f$ ?

   La courbe $C_f$ traverse sa tangente en A. Par conséquent, A est un point d'inflexion.

   ---

3. Une seule des trois courbes ci-dessous est la représentation graphique de la dérivée seconde $f″$ : laquelle ?

   La tangente en un point de la courbe semble en dessous de la courbe $C_f$ tant que l'abscisse du point est inférieure à 1, donc la fonction f semble convexe sur l'intervalle $\left]0;1\right]$ et concave sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$.

   Courbe $C_1$	Courbe $C_2$	Courbe $C_3$

   La courbe $C_1$ est la seule des trois courbes qui représente une fonction $f″$ positive sur l'intervalle $\left]0;1\right]$ et négative sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$.

   $C_1$ est la courbe représentative de fonction $f″$.

   ---

partie b

La fonction f de la partie A est définie sur $I=\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)=x^2\times \left({\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln \left(x\right)\right)$.

1. Résoudre l'équation $f\left(x\right)=0$.

   Pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{lll}{x}^2\times \left({\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln \left(x\right)\right)=0& \iff & {\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln \left(x\right)=0\\ & \iff & \ln \left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}\\ & \iff & x={\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}\end{array}$$

   L'équation $f\left(x\right)=0$ admet pour unique solution $x={\mathrm{e}}^{\mathrm{1,5}}$.

   ---

2. 1. Montrer que pour tout réel x strictement positif, $f\prime \left(x\right)=2x\times \left(1-\ln \left(x\right)\right)$.

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur $I=\left]0;+\infty \right[$ :
      $f=uv$ d'où $f\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=x^2\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=2x\hfill \\ v\left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln \left(x\right)\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$

      Soit pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& 2x\times \left({\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln \left(x\right)\right)+x^2\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\hfill \\ & =& 2x\times \left({\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln \left(x\right)\right)-x\hfill \\ & =& 2x\times \left({\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln \left(x\right)-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\hfill \\ & =& 2x\times \left(1-\ln \left(x\right)\right)\hfill \end{array}$$

      Ainsi, $f\prime$ est la fonction définie pour tout réel x strictement positif, par $f\prime \left(x\right)=2x\times \left(1-\ln \left(x\right)\right)$.

      ---

   2. Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$.

      Les variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ se déduisent du signe de sa dérivée.

      Or $f\prime$ est définie sur $\left]0;+\infty \right[$ par $f\prime \left(x\right)=2x\times \left(1-\ln \left(x\right)\right)$ donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $1-\ln \left(x\right)$ : $$\begin{array}{lll}1-\ln \left(x\right)⩽0& \iff & -\ln \left(x\right)⩽-1\\ & \iff & \ln \left(x\right)⩾1\\ & \iff & x⩾\mathrm{e}\end{array}$$

      Nous pouvons en déduire le tableau des variations de la fonction f sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ :

      x		0		e		$+\infty$
      $f\prime \left(x\right)$			+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
      $f\left(x\right)$				${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}$

      calcul du maximum

      $$\begin{array}{lll}f\left(\mathrm{e}\right)& =& {\mathrm{e}}^2\times \left({\displaystyle \frac{3}{2}}-\ln \left(\mathrm{e}\right)\right)\\ & =& {\mathrm{e}}^2\times \left({\displaystyle \frac{3}{2}}-1\right)\\ & =& {\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^2}{2}}\end{array}$$

3. On note $f″$ la dérivée seconde de f sur $\left]0;+\infty \right[$. Calculer $f″\left(x\right)$ puis, étudier la convexité de la fonction f.

   La fonction $f\prime$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur $\left]0;+\infty \right[$ :
   $f\prime =uv$ d'où $f″=u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x strictement positif, $\{\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=2x\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=2\hfill \\ v\left(x\right)=1-\ln \left(x\right)\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{x}}\hfill \end{array}$

   Soit pour tout réel x strictement positif : $$\begin{array}{ccc}f″\left(x\right)& =& 2\times \left(1-\ln \left(x\right)\right)+2x\times \left(-{\displaystyle \frac{1}{x}}\right)\hfill \\ & =& 2\times \left(1-\ln \left(x\right)\right)-2\hfill \\ & =& -2\ln \left(x\right)\hfill \end{array}$$

   Ainsi, $f″$ est la fonction définie pour tout réel x strictement positif, par $f″\left(x\right)=-2\ln \left(x\right)$.

   ---

   La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde $f″$ :

   Sur l'intervalle $\left]0;1\right]$, $f″\left(x\right)⩾0$ donc la fonction f est convexe sur l'intervalle $\left]0;1\right]$.
   Sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$, $f″\left(x\right)⩽0$ donc la fonction f est conconcave sur l'intervalle $\left[1;+\infty \right[$.

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.