contrôle du 07 mars 2015

Corrigé de l'exercice 1

1. Calculer le nombre d'habitants dans cette ville en 2015 et 2016.

   $$\begin{array}{ccc}50000\times \left(1+{\displaystyle \frac{2}{100}}\right)+400& =& 51400\\ 51400\times \left(1+{\displaystyle \frac{2}{100}}\right)+400& =& 52828\end{array}$$

   Selon ce modèle, en 2015 il devrait y avoir 51 400 habitants et, en 2016 52 828 habitants.

   ---

2. On modélise l'évolution de la population de cette ville par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de milliers d'habitants de cette ville au 1^er janvier de l'année $2014+n$.

   1. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=50$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{1,02}{u}_n+\mathrm{0,4}$.

      • Au 1^er janvier 2014, la population est de 50 milliers d'habitants d'où $u_0=50$.
      • Le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année de 2 % et 400 personnes supplémentaires s'installent dans cette ville d'où $u_{n+1}=\mathrm{1,02}{u}_n+\mathrm{0,4}$.

      Ainsi, $\left(u_n\right)$ est la suite définie par $u_0=50$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{1,02}{u}_n+\mathrm{0,4}$.

      ---

   2. On considère l'algorithme suivant :

      Variables :	U est un réel
      	N est un entier naturel
      Initialisation :	U prend la valeur 50
      	N prend la valeur 0
      Traitement :	Tant_que $U<75$ :
      	N prend la valeur $N+1$ U prend la valeur $\mathrm{1,02}\times U+\mathrm{0,4}$
      	Fin Tant_que
      Sortie :	Afficher N

      Si l'on fait fonctionner cet algorithme, alors le résultat affiché en sortie est 16. Interpréter ce résultat dans le contexte de ce problème.

      Cet algorithme permet d'obtenir le rang de l'année à partir de laquelle le nombre d'habitants est supérieur à 75 milliers.

      Au 1^er janvier 2030, la population de la ville sera supérieure à 75 000 habitants. (16 ans après 2014).

      ---

3. Pour tout entier naturel n, on pose $v_n=u_n+20$. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

   Pour tout entier n, $$\begin{array}{lll}{v}_{n+1}& =& u_{n+1}+20\\ & =& \mathrm{1,02}{u}_n+\mathrm{0,4}+20\\ & =& \mathrm{1,02}{u}_n+\mathrm{20,4}\\ & =& \mathrm{1,02}\times \left(u_n+20\right)\\ & =& \mathrm{1,02}{v}_n\end{array}$$

   Pour tout entier n, $v_{n+1}=\mathrm{1,02}{v}_n$ donc $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02. D'autre part, $$\begin{array}{ccc}{v}_0=u_0+20& \text{soit}& v_0=50+20=70\end{array}$$

   Ainsi, $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $v_0=70$.

   ---

4. Exprimer $v_n$ en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_n=70\times {\mathrm{1,02}}^n-20$.

   $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme $v_0=70$ alors pour tout entier n, $v_n=70\times {\mathrm{1,02}}^n$

   D'autre part, pour tout entier n, $v_n=u_n+20$ d'où $u_n=v_n-20$.

   Donc pour tout entier n, $u_n=70\times {\mathrm{1,02}}^n-20$.

   ---

5. Calculer le pourcentage d'augmentation de la population entre le 1^er janvier 2014 et le 1^er janvier 2020. Le résultat sera arrondi à 0,1 % près.

   Le coefficient multiplicateur associé au pourcentage d'évolution de la population entre le 1^er janvier 2014 et le 1^er janvier 2020 est :$${\displaystyle \frac{u_6}{u_0}}={\displaystyle \frac{70\times {\mathrm{1,02}}^6-20}{50}}\approx \mathrm{1,1766}$$

   Entre le 1^er janvier 2014 et le 1^er janvier 2020, la population aura augmenté de 17,7 %.

   ---

6. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n⩾75$. Interpréter le résultat.

   $$\begin{array}{ccc}70\times {\mathrm{1,02}}^n-20⩾75& \iff & {\mathrm{1,02}}^n⩾{\displaystyle \frac{95}{70}}\hfill \\ & \iff & \ln \left({\mathrm{1,02}}^n\right)⩾\ln \left({\displaystyle \frac{95}{70}}\right)\hfill \\ & \iff & n\ln \mathrm{1,02}⩾\ln \left({\displaystyle \frac{95}{70}}\right)\hfill \\ & \iff & n⩾{\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{95}{70}}\right)}{\ln \mathrm{1,02}}}\hfill \end{array}$$

   Comme ${\displaystyle \frac{\ln \left({\displaystyle \frac{95}{70}}\right)}{\ln \mathrm{1,02}}}\approx \mathrm{15,4}$ et que n est un enier naturel alors, $n⩾16$.

   Les entiers naturels solutions de l'inéquation $u_n⩾75$ sont les entiers $n⩾16$. À partir du 1^er janvier 2030, la population de la ville dépassera 75 000 habitants.

   ---

---

Rechercher des exercices regoupés par thème

exercices compatibles programme 2012 : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmePropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

indifférent : ------- Liste des thèmes disponibles -------SuitesFonctions (I) : Dérivées, variationFonctions (I) : Étude de fonctions, limites et dérivéeFonctions (I) : Lectures graphiquesFonctions (I) : Applications en ÉconomieFonctions (I) : Valeur intermédiaireFonctions (I) : Q.C.MFonctions (I) : Limites, dérivée de fonctions composéesConvexité, point d'inflexionLogarithme népérien : Propriétés algébriquesLogarithme népérien : ÉquationsLogarithme népérien : Équations avec exponentielleFonction logarithmeLogarithme d'une fonctionPropriétés des fonctions exponentielleFonction exponentielleExponentielle d'une fonctionPrimitives d'une fonctionCalcul intégralIntégrale et aireFonctions (II) : Applications en ÉconomieFonctions (II) : Q.C.MFonctions : Vrai-FauxAjustement affine d'un nuage de pointsAjustement d'un nuage de pointsProbabilitésLoi binomialeLois de probabilité à densitéQ.C.M ProbabilitésGéométrie dans l'espaceFonctions de deux variablesGraphesGraphes probabilistesMatricesVrai - Faux (divers)

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.