La courbe , tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal, est la courbe représentative d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur .
La droite T est tangente à la courbe au point . Par lecture graphique, déterminer .
Le point appartient à la tangente T à la courbe au point .
Le nombre dérivé est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe au point A :
Ainsi, .
La fonction f est définie pour tout réel x par .
Montrer que pour tout réel x, .
La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur :
d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x :
Ainsi, est la fonction définie pour tout réel x par .
Étudier les variations de la fonction f.
Pour tout réel x, donc est du même signe que .
Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :
x | 2 | ||||
− | + | ||||
On admet que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction définie tout réel x par .
Montrer que la courbe admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.
La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde . Comme pour tout réel x, alors, est du même signe que .
x | 3 | ||||
Signe de | + | − | |||
Convexité de f | f est convexe | f est concave |
La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 3.
Montrer que la fonction F définie pour tout réel x par est une primitive de f sur .
Dire que la fonction F est une primitive de f sur signifie pour tout réel x, .
La fonction F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur :
d'où avec pour tout réel x,
Soit pour tout réel x :
Ainsi, pour tout réel x, donc la fonction F définie pour tout réel x par est une primitive de f sur .
Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe , l'axe des abscisses, et les droites d'équations et .
Pour tout réel x,
La fonction f est positive sur l'intervalle donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe , l'axe des abscisses, et les droites d'équations et est égale à l'intégrale de la fonction f entre et 1.
L'aire du domaine limité par la courbe , l'axe des abscisses, et les droites d'équations et est égale à unités d'aire.
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