contrôles en terminale ES

contrôle du 07 mars 2015

Corrigé de l'exercice 4

La courbe Cf, tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal, est la courbe représentative d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur .

Courbe représentative de la fonction f : L'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.
  1. La droite T est tangente à la courbe Cf au point A(0;1). Par lecture graphique, déterminer f(0).

    Le point B(-1;0) appartient à la tangente T à la courbe Cf au point A(0;1).

    Le nombre dérivé f(0) est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe Cf au point A : f(0)=yB-yAxB-xASoitf(0)=3-1-1=-2

    Ainsi, f(0)=-2.


  2. La fonction f est définie pour tout réel x par f(x)=(1-x)e-x.

    1. Montrer que pour tout réel x, f(x)=(x-2)e-x.

      La fonction f est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur :
      f=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, { u(x)=1-x;u(x)=-1 v(x)=e-x;v(x)=-e-x

      Soit pour tout réel x : f(x)=-1×e-x+(1-x)×(-e-x) =e-x×(-1-1+x) =(x-2)e-x

      Ainsi, f est la fonction définie pour tout réel x par f(x)=(x-2)e-x.


    2. Étudier les variations de la fonction f.

      Pour tout réel x, e-x>0 donc f(x) est du même signe que (x-2).

      Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée. D'où le tableau de variation de la fonction :

      x -   2   +
      f(x)   0|| +  
      f(x)   fonction décroissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.

      -e-2

      fonction croissante : l'illustration svg n'est pas visible par votre navigateur.  

  3. On admet que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction f définie tout réel x par f(x)=(3-x)e-x.
    Montrer que la courbe Cf admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.

    La convexité de la fonction f se déduit du signe de sa dérivée seconde f. Comme pour tout réel x, e-x>0 alors, f(x) est du même signe que (3-x).

    x - 3 +
    Signe de f(x) + 0||
    Convexité de f

    f est convexe

     

    f est concave

     

    La dérivée seconde s'annule en changeant de signe pour x=3 donc la courbe représentative de la fonction f admet un point d'inflexion d'abscisse 3.


    1. Montrer que la fonction F définie pour tout réel x par F(x)=xe-x est une primitive de f sur .

      Dire que la fonction F est une primitive de f sur signifie pour tout réel x, F(x)=f(x).

      La fonction F est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur :
      F=uv d'où f=uv+uv avec pour tout réel x, { u(x)=x;u(x)=-1 v(x)=e-x;v(x)=-e-x

      Soit pour tout réel x : F(x)=-1×e-x+x×(-e-x)=(1-x)e-x

      Ainsi, pour tout réel x, F(x)=f(x) donc la fonction F définie pour tout réel x par F(x)=xe-x est une primitive de f sur .


    2. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe Cf, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=-1 et x=1.

      Pour tout réel x, (1-x)e-x01-x0x1

      La fonction f est positive sur l'intervalle ]-;1] donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine limité par la courbe Cf, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=-1 et x=1 est égale à l'intégrale de la fonction f entre -1 et 1.

      -11f(x)dx=F(1)-F(-1)=e-1-(-e1)=e-1+e

      L'aire du domaine limité par la courbe Cf, l'axe des abscisses, et les droites d'équations x=-1 et x=1 est égale à (e+1e) unités d'aire.



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