contrôle du 07 mars 2015

exercice 1

Au 1^er janvier 2014, une ville avait une population de 50 000 habitants. On considère qu'à partir du 1^er janvier 2014 :

• le nombre d'habitants de la ville augmente chaque année de 2 % du fait des naissances et des décès ;
• du fait des mouvements migratoires, 400 personnes supplémentaires s'installent chaque année dans cette ville.

1. Calculer le nombre d'habitants dans cette ville en 2015 et 2016.

2. On modélise l'évolution de la population de cette ville par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre de milliers d'habitants de cette ville au 1^er janvier de l'année $2014+n$.

   1. Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est définie par $u_0=50$ et pour tout entier naturel n, $u_{n+1}=\mathrm{1,02}{u}_n+\mathrm{0,4}$.

   2. On considère l'algorithme suivant :

      Variables :	U est un réel
      	N est un entier naturel
      Initialisation :	U prend la valeur 50
      	N prend la valeur 0
      Traitement :	Tant_que $U<75$ :
      	N prend la valeur $N+1$ U prend la valeur $\mathrm{1,02}\times U+\mathrm{0,4}$
      	Fin Tant_que
      Sortie :	Afficher N

      Si l'on fait fonctionner cet algorithme, alors le résultat affiché en sortie est 16. Interpréter ce résultat dans le contexte de ce problème.

3. Pour tout entier naturel n, on pose $v_n=u_n+20$. Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

4. Exprimer $v_n$ en fonction de n. En déduire que pour tout entier naturel n, $u_n=70\times {\mathrm{1,02}}^n-20$.

5. Calculer le pourcentage d'augmentation de la population entre le 1^er janvier 2014 et le 1^er janvier 2020. Le résultat sera arrondi à 0,1 % près.

6. Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $u_n⩾75$. Interpréter le résultat.

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exercice 2

On considère le graphe Γ ci-dessous.

1. Donner la matrice M associée au graphe Γ (les sommets étant rangés dans l'ordre alphabétique).

2. On donne : $M^2=\left(\begin{array}{cccccccc}3& 0& 2& 1& 1& 1& 2& 1\\ 0& 3& 1& 1& 2& 2& 1& 1\\ 2& 1& 4& 1& 1& 2& 1& 1\\ 1& 1& 1& 2& 1& 1& 1& 0\\ 1& 2& 1& 1& 4& 1& 2& 1\\ 1& 2& 2& 1& 1& 4& 1& 1\\ 2& 1& 1& 1& 2& 1& 4& 1\\ 1& 1& 1& 0& 1& 1& 1& 2\end{array}\right)$ et $M^3=\left(\begin{array}{cccccccc}2& 7& 4& 3& 7& 7& 4& 3\\ 7& 2& 7& 3& 4& 4& 7& 3\\ 4& 7& 4& 5& 9& 5& 8& 3\\ 3& 3& 5& 2& 5& 3& 3& 2\\ 7& 4& 9& 5& 4& 8& 5& 3\\ 7& 4& 5& 3& 8& 4& 9& 5\\ 4& 7& 8& 3& 5& 9& 4& 5\\ 3& 3& 3& 2& 3& 5& 5& 2\end{array}\right)$

   1. Montrer, par le calcul, que le coefficient de la quatrième ligne et huitième colonne de la matrice $M^3$ est égal à 2.

   2. Déterminer, en justifiant, le nombre de chaînes de longueur 3 reliant D à H. Les citer toutes.

3. 1. Déterminer en justifiant si le graphe Γ est complet.

   2. Déterminer en justifiant si le graphe Γ est connexe.

4. Le graphe Γ modélise le plan d'un parc. Les arêtes du graphe représentent les allées du parc et les sommets du graphe des plantations d'essences exotiques.

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   Est-il possible de visiter ce parc en empruntant une seule fois chaque allée ? Justifier la réponse. Si oui proposer un tel parcours.

5. Sur les arêtes du graphe Γ sont indiqués les temps moyens de parcours pour un promeneur exprimés en minutes.

   En précisant la méthode utilisée, déterminer le trajet le plus court (en minutes) pour aller de D à H. Préciser la durée totale de ce trajet.

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exercice 3

Une usine fabrique, en grande quantité, un certain type de pièces métalliques pour l'industrie.

partie a

Les pièces sont fabriquées par deux machines a et b.
On considère que 2 % des pièces produites par la machine a sont défectueuses et que 7 % des pièces produites la machine b sont défectueuses.
La machine a plus récente assure 80 % de la production quotidienne.

On prélève une pièce au hasard dans l'ensemble des pièces produites par les deux machines pendant une journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être prélevées. On considère les évènements suivants :

• A : « la pièce prélevée a été fabriquée par la machine a » ;
• D : « la pièce prélevée est défectueuse ».

1. Recopier et compléter l'arbre probabiliste modélisant la situation :

2. Calculer la probabilité que la pièce prélevée au hasard dans la production de la journée soit défectueuse et qu'elle ait été fabriquée par la machine a.

3. En déduire la probabilité que la pièce prélevée au hasard dans la production de la journée soit défectueuse.

4. La pièce prélevée au hasard dans la production de la journée est défectueuse, quelle est la probabilité qu'elle ait été fabriquée par la machine a ?

partie b

Dans cette partie, les résultats seront si nécessaire, arrondis au millième près.

On considère un stock important de pièces métalliques. On admet que 3 % des pièces de ce stock sont défectueuses.
On prélève au hasard 150 pièces dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 150 pièces.
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 150 pièces, associe le nombre de pièces de ce prélèvement qui sont défectueuses.

1. La variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.

2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, une pièce au moins soit défectueuse.

3. Ci-dessous est donné un extrait du tableau donnant les valeurs des probabilités $P\left(X⩽k\right)$, où k désigne un nombre entier naturel appartenant à l'intervalle $\left[0;150\right]$.

   k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$	k	$P\left(X⩽k\right)$
   0	0,010 4	5	0,704 3	10	0,994 2
   1	0,058 5	6	0,834 0	11	0,998 0
   2	0,169 3	7	0,916 6	12	0,999 4
   3	0,338 4	8	0,962 2	13	0,999 8
   4	0,530 7	9	0,984 5	14	0,999 9

   À l'aide de ce tableau ou de la calculatrice, déterminer $P\left(2⩽X⩽8\right)$, la probabilité que le nombre de pièces défectueuses dans un lot de 150 soit compris entre 2 et 8.

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exercice 4

La courbe $C_f$, tracée ci-dessous dans le plan muni d'un repère orthogonal, est la courbe représentative d'une fonction f définie et deux fois dérivable sur $ℝ$.

1. La droite T est tangente à la courbe $C_f$ au point $A\left(0;1\right)$. Par lecture graphique, déterminer $f\prime \left(0\right)$.

2. La fonction f est définie pour tout réel x par $f\left(x\right)=\left(1-x\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   1. Montrer que pour tout réel x, $f\prime \left(x\right)=\left(x-2\right){\mathrm{e}}^{-x}$.

   2. Étudier les variations de la fonction f.

3. On admet que la dérivée seconde de la fonction f est la fonction $f″$ définie tout réel x par $f″\left(x\right)=\left(3-x\right){\mathrm{e}}^{-x}$.
   Montrer que la courbe $C_f$ admet un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.

4. 1. Montrer que la fonction F définie pour tout réel x par $F\left(x\right)=x{\mathrm{e}}^{-x}$ est une primitive de f sur $ℝ$.

   2. Calculer l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine plan limité par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=-1$ et $x=1$.

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