méthode d'euler

résolution numérique d'équations différentielles par la méthode d'euler

approximation affine locale

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Soit f est une fonction dérivable sur un intervalle I et a un réel de I.
Les valeurs a,  f (a) et f '(a) nous permettent de déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'absisse a : y=f(a)(xa)+f(a)

Pour tout réel h non nul, l'ordonnée d'un point d'abscisse x = a + h de la tangente est y=f(a)h+f(a).

Quand h est proche de 0, c'est une valeur approchée de f (a + h).

Pour tout réel h non nul, et proche de 0 tel que a + h soit dans I on a : f(a +h )f( a )+hf'( a )

Il s'agit de la meilleure approximation affine de la fonction au voisinage du point a, à condition de ne pas fixer à l'avance l'erreur admise et l'intervalle de l'approximation. Cette approximation sera d'autant meilleure que h sera petit.


équation différentielle

Une équation différentielle est une relation entre une fonction, inconnue y de x qu'il s'agit de déterminer, et ses dérivées y ', y'' ...  y (n).

Une équation différentielle du premier ordre est une équation différentielle ne faisant intervenir que la dérivée première.

Résoudre une équation différentielle revient à trouver une fonction y dont les dérivées sont solutions de l'équation.

Exemples:

Très peu d'équations différentielles sont résolubles analytiquement, aussi est-on amené à décomposer le problème.

Une des méthodes numériques particulièrement simple à mettre en œuvre est la méthode d'Euler.

Principe de la méthode d'euler

La méthode d'Euler repose sur l'utilisation de l'approximation affine de la fonction.

Soit à résoudre l'équation différentielle du premier ordre { y = f( x,y ) y( x 0 ) = y 0 sur un intervalle I = [ x 0 ; x F ]


illustration graphique de la méthode d'euler

Résolution par la méthode d'Euler, dans l'intervalle [0, 2] de l'équation différentielle : { y = 2xy y( 0) = 1 , dont on connaît la solution exacte y= exp( x 2 )

Pour illustrer la méthode le pas choisi au départ h = 0,25 est trop grand. La courbe représentative de fonction affine par morceaux obtenue est sensiblement éloignée de celle de la solution exacte.

En diminuant le pas, on augmente la précision du calcul. Les courbes représentatives des fonctions affines par morceaux associées aux différentes valeurs de h tendent vers celle de la solution exacte.

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Dans le tableau ci-dessous sont comparés les résultats obtenus pour certaines valeurs de x, calculées pour différentes valeurs de h et h/2.

Comparaison entre la solution exacte et la résolution numérique pour différentes valeurs de h
Condition initiale
x 0 = 0
0,5 1 1,5 2 1 4 i=1 4 | y h/2 y h |
h = 0,25 1 0,875 0,41015625 0,076904297 0,002403259 0,025321834
h / 2 = 0,125 1 0,823059082 0,385714753 0,093809623 0,010402854
h = 0,1 1 0,81360384 0,381706681 0,096447763 0,012023052 0,008316991
h / 2 = 0,05 1 0,795607465 0,374384019 0,101206119 0,015213620
h = 0,01 1 0,782068829 0,369120131 0,104599698 0,017703091 0,000743144
h / 2 = 0,005 1 0,780429038 0,368496165 0,105001737 0,018009871
h = 0,001 1 0,779125513 0,368002211 0,105320086 0,018254566 0,000073494
h /2 = 0,0005 1 0,778963091 0,367940790 0,105359677 0,018285107
exp( x 2 ) 1 0,778800783 0,367879441 0,105399225 0,018315639

Nous pouvons constater que pour une précision ε = 10- 4 , on peut choisir un pas h = 0,0005.

 

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