Complément hors programme pour illustrer l'approximation affine d'une fonction

résolution numérique d'équations différentielles par la méthode d'euler

approximation affine locale

Soit f est une fonction dérivable sur un intervalle I et a un réel de I.
Les valeurs a, $f\left(a\right)$ et $f\prime \left(a\right)$ nous permettent de déterminer l'équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'absisse a : $$y=f\prime \left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)$$ Pour tout réel h non nul, l'ordonnée d'un point d'abscisse $x=a+h$ de la tangente est $y=f\prime \left(a\right)h+f\left(a\right)$. Quand h est proche de 0, c'est une valeur approchée de $f\left(a+h\right)$.

Pour tout réel h non nul, et proche de 0 tel que $a+h$ soit dans I on a : $f\left(a+h\right)\approx f\left(a\right)+hf\prime \left(a\right)$.

Il s'agit de la meilleure approximation affine de la fonction au voisinage du point a, à condition de ne pas fixer à l'avance l'erreur admise et l'intervalle de l'approximation. Cette approximation sera d'autant meilleure que h sera petit.

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équation différentielle

Une équation différentielle est une relation entre une fonction, inconnue y de x qu'il s'agit de déterminer, et ses dérivées $y\prime ,y″,\dots ,y^{\left(n\right)}$.

Une équation différentielle du premier ordre est une équation différentielle ne faisant intervenir que la dérivée première.

Résoudre une équation différentielle revient à trouver une fonction y dont les dérivées sont solutions de l'équation.

Exemples :

1. La fonction $f\left(x\right)=x^2+C$ où C est une constante, est une solution de l'équation différentielle du premier ordre $y\prime =2x$.
2. Vérifions que $y=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}$ où C ₁ et C₂ sont des réels, est une solution de l'équation différentielle d'ordre 2 : $y″-4y=0$.
   Les deux premières dérivées de y sont $y\prime =2C_1{e}^{2x}-2C_2{e}^{-2x}$ et $y″=4C_1{e}^{2x}+4C_2{e}^{-2x}$ d'où pour tout réel x :$$y″-4y=4C_1{e}^{2x}+4C_2{e}^{-2x}-4\left(C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}\right)=0$$ La fonction $y=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}$ est bien solution de l'équation $y″-4y=0$.

Très peu d'équations différentielles sont résolubles analytiquement, aussi est-on amené à décomposer le problème.

• Tout d'abord on cherche à caractériser les solutions, des théorèmes permettant dans certaines conditions assez générales de prouver l'existence et l'unicité de la solution.
• Connaissant l'existence et l'unicité de la solution on cherche une méthode numérique qui permette d'approcher $y\left(x\right)$ pour tout x d'aussi près que l'on veut.

Une des méthodes numériques particulièrement simple à mettre en œuvre est la méthode d'Euler.

Principe de la méthode d'euler

La méthode d'Euler repose sur l'utilisation de l'approximation affine de la fonction.

Soit à résoudre l'équation différentielle du premier ordre $\{\begin{array}{rcl}y\prime & =& f\left(x,y\right)\\ y\left(x_0\right)& =& y_0\end{array}$ sur un intervalle $I=\left[x_0;x_F\right]$.

Soit φ la solution exacte de l'équation différentielle, la fonction φ est telle que : $\{\begin{array}{rcl}\phi \prime \left(x\right)& =& f\left(x,\phi \left(x\right)\right)\\ \phi \left(x_0\right)& =& y_0\end{array}$.

Pour chaque choix d'un réel h strictement positif, qu'on appelle le pas ( en général on divise I en n intervalles et on choisit un pas $h={\displaystyle \frac{x_F-x_0}{n}}$ ), on définit une fonction ${\phi }_h$ affine par morceaux, solution approchée de φ.

Pour les n valeurs $x_1=x_0+h,x_2=x_1+h,\dots ,x_n=x_{n-1}+h,$ on calcule localement à l'aide de l'approximation affine de la fonction φ, les n valeurs approchées ${\phi }_h\left(x_1\right),{\phi }_h\left(x_2\right),\dots ,{\phi }_h\left(x_n\right)$, de la manière suivante :

• Sur l'intervalle $\left[x_0,x_0+h\right]$,
  $\{\begin{array}{rcl}\phi \left(x_0+h\right)& \approx & \phi \left(x_0\right)+h\phi \prime \left(x_0\right)\\ \phi \left(x_0\right)& =& y_0\end{array}$ , la fonction φ peut être approchée par la fonction affine ${\phi }_h$ telle que : $\{\begin{array}{rcl}{\phi }_h\left(x_0+h\right)& =& \phi \left(x_0\right)+h\phi \prime \left(x_0\right)\\ {\phi }_h\left(x_0\right)& =& y_0\end{array}$
  soit en posant $x_1=x_0+h$ : $\{\begin{array}{rcl}{\phi }_h\left(x_1\right)& =& y_0+hf\left(x_0,y_0\right)\\ {\phi }_h\left(x_0\right)& =& y_0\end{array}$ d'où le premier calcul : $\{\begin{array}{rcl}{x}_1& =& x_0+h\\ y_1& =& y_0+hf\left(x_0,y_0\right)\end{array}$.
• Sur l'intervalle $\left[x_1,x_1+h\right]$,
  $\begin{array}{rll}\{\begin{array}{l}\phi \left(x_1+h\right)\approx \phi \left(x_1\right)+h\phi \prime \left(x_1\right)\\ \phi \left(x_1\right)\approx y_1\end{array}& \text{soit}& \{\begin{array}{l}\phi \left(x_1+h\right)\approx \phi \left(x_1\right)+hf\left(x_1,\phi \left(x_1\right)\right)\\ \phi \left(x_1\right)\approx y_1\end{array}\end{array}$. Attention ! la valeur exacte de $\phi \left(x_1\right)$ n'est pas connue, c'est la valeur approchée $y_1$ qui a été calculée.
  À condition que l'erreur commise soit négligeable, on pose $x_2=x_1+h$ et la fonction φ est approchée par la fonction affine ${\phi }_h$ telle que : $\{\begin{array}{rcl}{\phi }_h\left(x_2\right)& =& y_1+hf\left(x_1,y_1\right)\\ {\phi }_h\left(x_1\right)& =& y_1\end{array}$ d'où le résultat $\{\begin{array}{rcl}{x}_2& =& x_1+h\\ y_2& =& y_1+hf\left(x_1,y_1\right)\end{array}$.
• De proche en proche, on peut déterminer les valeurs approchées de la solution de l'équation différentielle à l'aide de l'algorithme : $\{\begin{array}{rcl}{x}_{n+1}& =& x_n+h\\ y_{n+1}& =& y_n+hf\left(x_n,y_n\right)\end{array}$ pour tout entier n.

Remarque

Soit φ(x _i) la valeur exacte de la fonction solution de l'équation, la méthode d'Euler nous permet de calculer une valeur approchée de φ(x_i+1) avec une erreur par pas égale à $\phi \left(x_{i+1}\right)-\left[\phi \left(x_i\right)+hf\left(x_i,\phi \left(x_i\right)\right)\right]$.

Or à chaque pas nous ne connaissons qu'une valeur approchée y _i de φ(x _i) (seules sont confondues les valeurs initiales φ(x ₀) et y ₀) de telle sorte que l'erreur commise est en réalité égale à $\phi \left(x_{i+1}\right)-\left[y_i+hf\left(x_i,y_i\right)\right]$ , comme on peut le voir sur l'illustration ci-contre.

Il est donc important de vérifier que l'erreur d'approximation n'est pas amplifiée à chaque pas, en choisissant un pas h suffisamment petit pour qu'à chaque pas la fonction $f\left(x;y\right)$ varie de moins de 10% par exemple.

Afin de tenir compte de l'erreur d'approximation on se fixe un degré de précision souhaité 𝜺. Le choix du pas h doit être tel que cette précision 𝜺 soit atteinte.
Pour vérifier que le résultat final est cohérent avec la précision choisie, on double le nombre de pas et on recommence.

• Si les résultats obtenus avec le pas h/2 diffèrent de celui obtenu avec le pas h de moins de 𝜺 on considère que le problème est résolu et la solution cherchée est celle obtenue avec le pas h/2
• Si la différence entre les différents résultats est supérieure à 𝜺 il faut encore recommencer en choisissant un nouveau pas plus petit que h/2.
• Si au bout d'un certain temps le problème ne diparaît pas , c'est que la méthode choisie est instable et il faut changer de méthode.

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illustration graphique de la méthode d'euler

Résolution par la méthode d'Euler, dans l'intervalle $\left[0;2\right]$ de l'équation différentielle : $\{\begin{array}{rcl}y\prime & =& -2xy\\ y\left(0\right)& =& 1\end{array}$ , dont on connaît la solution exacte $y=\exp \left(-x^2\right)$

Pour illustrer la méthode le pas choisi au départ $h=\mathrm{0,25}$ est trop grand. La courbe représentative de la fonction affine par morceaux solution de l'équation différentielle obtenue par la méthode d'Euler est sensiblement éloignée de la courbe $C_f$ représentative de la solution exacte.

En diminuant le pas, on augmente la précision du calcul. Les courbes représentatives des fonctions affines par morceaux associées aux différentes valeurs de h se rapprochent de la courbe $C_f$ représentative de la solution exacte.

Dans le tableau ci-dessous sont comparés les résultats obtenus pour certaines valeurs de x, calculées pour différentes valeurs de h et h/2.

Comparaison entre la solution exacte et la résolution numérique pour différentes valeurs de h

	Condition initiale $x_0=0$	0,5	1	1,5	2	${\displaystyle \frac{1}{4}}{\displaystyle \sum _{i=1}^4\left|y_{h/2}-y_h\right|}$
$h=\mathrm{0,25}$	1	0,875	0,41015625	0,076904297	0,002403259
$h=\mathrm{0,1}$	1	0,81360384	0,381706681	0,096447763	0,012023052	0,008316991
$h/2=\mathrm{0,05}$	1	0,795607465	0,374384019	0,101206119	0,015213620
$h=\mathrm{0,01}$	1	0,782068829	0,369120131	0,104599698	0,017703091	0,000743144
$h/2=\mathrm{0,005}$	1	0,780429038	0,368496165	0,105001737	0,018009871
$h=\mathrm{0,001}$	1	0,779125513	0,368002211	0,105320086	0,018254566	0,000073494
$h/2=\mathrm{0,0005}$	1	0,778963091	0,367940790	0,105359677	0,018285107
$exp\left(-x^2\right)$	1	0,778800783	0,367879441	0,105399225	0,018315639

Nous pouvons constater que pour une précision $𝜺={10}^{-4}$, on peut choisir un pas $h=\mathrm{0,0005}$.

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