Asymptote verticale

Lorsqu'on cherche $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ ou $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)$, il se peut que les valeurs $f\left(x\right)$ de la fonction croissent ou décroissent sans borne. C'est le cas par exemple, de la fonction inverse : $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=-\infty$ et $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\displaystyle \frac{1}{x}}=+\infty$ dont la courbe représentative, l'hyperbole d'équation $y={\displaystyle \frac{1}{x}}$ admet pour asymptote l'axe des ordonnées d'équation $x=0$ .

Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées

théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne ouverte a et ${𝒞}_f$ sa courbe représentative.
Si la limite de f est infinie quand x tend vers a ($x<a$ ou $x>a$ selon l'intervalle), alors la droite d'équation $x=a$ est asymptote verticale à ${𝒞}_f$ .

Illustration graphique

La figure ci-dessous représente graphiquement les différentes situations où la courbe ${𝒞}_f$ a pour asymptote la droite d'équation $x=a$ parallèle à l'axe des ordonnées.

f est définie sur $\left]-\infty ;a\right[$				f est définie sur $\left]a;+\infty \right[$
$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$		$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$		$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$		$\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

remarque

Dire que a est une valeur interdite de la fonction f ne suffit pas pour avoir une asymptote verticale. Il faut aussi que la limite soit infinie en cette valeur.

Par exemple la courbe représentative, donnée ci-contre, de la fonction f définie sur $\left[-\sqrt{2};1\right[$ par $$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1-\sqrt{2-x^2}}{x-1}}$$ n'a pas d'asymptote d'équation $x=1$ car la limite de la fonction f quand x tend vers 1 est finie.

---

Démontrons le :

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }1-\sqrt{2-x^2}=0$ et $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }x-1=0$ . Nous sommes en présence de la forme indéterminée ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ .

Or pour tout réel x de l'intervalle $\left[-\sqrt{2};1\right[$$$\begin{array}{llll}{\displaystyle \frac{1-\sqrt{2-x^2}}{x-1}}& =& {\displaystyle \frac{\left(1-\sqrt{2-x^2}\right)\times \left(1+\sqrt{2-x^2}\right)}{\left(x-1\right)\times \left(1+\sqrt{2-x^2}\right)}}& \text{Car, }1+\sqrt{2-x^2}\ne 0\\ & =& {\displaystyle \frac{x^2-1}{\left(x-1\right)\left(1+\sqrt{2-x^2}\right)}}& \\ & =& {\displaystyle \frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(1+\sqrt{2-x^2}\right)}}& \\ & =& {\displaystyle \frac{x+1}{1+\sqrt{2-x^2}}}& \text{Car, }x<1\Rightarrow x-1\ne 0\end{array}$$

Comme $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{\displaystyle \frac{x+1}{1+\sqrt{2-x^2}}}=1$ , nous avons $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$ . Donc la courbe représentative de la fonction f n'a pas d'asymptote verticale d'équation $x=1$ .

---

suivant >>  Asymptote horizontale

---

[ Accueil ]

---

Les documents présentés ne sont pas libres de droits. Vous pouvez les télécharger et diffuser (en indiquant la provenance) à condition de ne pas en faire un usage commercial.