Droites asymptotes

Asymptote verticale

Lorsqu'on cherche limxa-fx ou limxa+fx, il se peut que les valeurs fx de la fonction croissent ou décroissent sans borne. C'est le cas par exemple, de la fonction inverse limx0-1x=- et limx0+1x=+ dont la courbe représentative, l'hyperbole d'équation y=1x admet pour asymptote l'axe des ordonnées d'équation x=0.

Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées

théorème

Soit f une fonction définie sur un intervalle de borne ouverte a et 𝒞f sa courbe représentative.
Si la limite de f est infinie quand x tend vers a (x < a ou x > a selon l'intervalle), alors la droite d'équation x=a est asymptote verticale à 𝒞f.

Illustration graphique

La figure ci-dessous représente graphiquement les différentes situations où la courbe 𝒞f a pour asymptote la droite d'équation x=a parallèle à l'axe des ordonnées.

f est définie sur -a

 

f est définie sur a+

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limxa-fx=+

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limxa-fx=-

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limxa+fx=+

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limxa+fx=-

remarque

Dire que a est une valeur interdite de la fonction f ne suffit pas pour avoir une asymptote verticale. Il faut aussi que la limite soit infinie en cette valeur.

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Par exemple la courbe représentative, donnée ci-contre, de la fonction f définie sur -21 par fx=1-2-x2x-1 n'a pas d'asymptote d'équation x=1 car la limite de la fonction f quand x tend vers 1 est finie.


Démontrons le :

limx1-1-2-x2=0 et limx1-x-1=0 . Nous sommes en présence de la forme indéterminée 00.

Or pour tout réel x de l'intervalle -211-2-x2x-1= 1-2-x2×1+2-x2x-1×1+2-x2 Car, 1+2-x20 =x2-1x-11+2-x2 =x-1x+1x-11+2-x2 =x+11+2-x2Car, x<1x-10

Comme limx1-x+11+2-x2=1, nous avons limx1-fx=1 . Donc la courbe représentative de la fonction f n'a pas d'asymptote verticale d'équation x=1.


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✉ A.Yallouz

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