Complément hors programme pour illustrer l'approximation affine d'une fonction

instabilité de la méthode d'euler

stabilité en fonction du pas

Soit l'équation différentielle : $\{\begin{array}{rcl}y\prime \left(x\right)& =& -5y\left(x\right)\\ y\left(0\right)& =& 1\end{array}$ , dont la solution est : $y\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-5x}$.

Ci-dessous, sont tracées la courbe $C_f$ représentative de la solution exacte ainsi que la courbe représentative de la fonction affine par morceaux de la solution obtenue par la méthode d'Euler avec un pas $h=\mathrm{0,124}$.

En faisant varier le pas h à l'aide du curseur nous pouvons constater que si $h>\mathrm{0,4}$ l'erreur commise entre la solution exacte et la solution calculée est amplifiée d'un pas à l'autre.

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explication

Pour $k>0$ donné, on considère l'équation différentielle : $\{\begin{array}{rclll}y\prime \left(x\right)& =& -ky\left(x\right)& \text{ si }& x>0\\ y\left(0\right)& =& \multicolumn{3}{c}{y_0}\end{array}$

dont la solution est : $y\left(x\right)=y_0{\mathrm{e}}^{-kx}$, donc $\underset{x\to +\infty }{\lim }y\left(x\right)=0$

Soient $x_0<x_1<\cdots <x_n<x_{n+1}<\cdots$ une suite de nombres réels tels que $x_0=0$ et $x_{n+1}-x_n=h$

Notons $u_n$ la valeur approchée de $y\left(x_n\right)$ calculée à l'aide de la méthode d'Euler.

Pour <$n=0,1,2,\dots$ nous avons d'après l'algorithme de la méthode d'Euler : $\{\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}& =& u_n-hk{u}_n\\ u_0& =& y_0\end{array}$ soit $\{\begin{array}{rcl}{u}_{n+1}& =& (1-hk)u_n\\ u_0& =& y_0\end{array}$

Si $1-hk\ne 0$, c'est à dire pour $h\ne {\displaystyle \frac{1}{k}}$, la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de terme initial $u_0=y_0$ de raison $q=\left(1-hk\right)$ dont le terme général est $u_n=y_0{\left(1-hk\right)}^n$.

Cette suite est convergente si $\left|1-hk\right|<1$, ainsi pour assurer la stabilité on doit choisir un pas $0<h<{\displaystyle \frac{2}{k}}$.

Remarques

• Si $0<h<{\displaystyle \frac{1}{k}}$ alors $0<1-hk<1$. La suite $\left(u_n\right)$ est monotone.
• Si ${\displaystyle \frac{1}{k}}<h<{\displaystyle \frac{2}{k}}$ alors $-1<1-hk<0$ . La suite $\left(u_n\right)$ n'est pas monotone.
• Si $h={\displaystyle \frac{2}{k}}$ alors $1-hk=-1$. Les termes de la suite $\left(u_n\right)$ sont alternativement égaux à $-y_0$ et $y_0$.

deux équations une même solution

Considérons les deux équations différentielles suivantes:

1. $\{\begin{array}{rclll}y\prime \left(x\right)& =& -{y\left(x\right)}^2& \text{ si }& x>0\\ y\left(0\right)& =& \multicolumn{3}{c}{1}\end{array}$   (1). La solution générale de cette équation est : $y={\displaystyle \frac{1}{x+C}}$, où la constante C est égale à 1 en raison de la condition initiale.
   La solution exacte de cette équation est donc $y={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$.

2. $\{\begin{array}{rclll}y\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{4y\left(x\right)}{x+1}}-{\displaystyle \frac{5}{{\left(x+1\right)}^2}}& \text{ si }& x>0\\ y\left(0\right)& =& \multicolumn{3}{c}{1}\end{array}$   (2). La solution générale de cette équation est : $y={\displaystyle \frac{1}{x+1}}+K{\left(x+1\right)}^4$ où K est est une constante.

   La condition initiale $y\left(0\right)=1$ correspondant au cas où $K=0$, la solution exacte de cette équation est encore $y={\displaystyle \frac{1}{x+1}}$.

Ci-dessous ont été tracées les courbes représentatives des solutions approchées des deux équations différentielles obtenues à partir de la méthode d'Euler, ainsi que la courbe représentative de la solution exacte.

Les deux équations ayant la même solution on s'attend à trouver le même résultat en appliquant la méthode d'Euler.

Alors que pour l'équation (1) , la solution numérique tend vers la solution exacte quand h diminue, il n'en est pas de même pour l'équation (2) où le résultat est aberrant.

Cette instabilité est confirmée par le tableau suivant donnant les erreurs absolues et relatives calculées pour $x=5$ et $x=20$ en fonction du pas h.

h	$x=5$					$x=20$
	$y\prime =-y^2$		$y\prime ={\displaystyle \frac{4y}{x+1}}-{\displaystyle \frac{5}{{\left(x+1\right)}^2}}$			$y\prime =-y^2$		$y\prime ={\displaystyle \frac{4y}{x+1}}-{\displaystyle \frac{5}{{\left(x+1\right)}^2}}$
	erreur absolue	erreur relative	erreur absolue	erreur relative		erreur absolue	erreur relative	erreur absolue	erreur relative
0,1	0,00503221	3,02%	13,28334031	7970%		0,0006950609	0,42%	1859,20041716	1115520,25%
0,01	0,00049822	0,3%	2,04715835	1228,3%		0,0000690781	0,04%	305,02754013	183016,52%
0,001	0,00004978	0,03%	0,2148274	128,9%		0,0000069041	0,004%	32,21521779	19329,13%
0,0001	0,00000498	0,003%	0,02158782	12,95%		0,0000006904	0,0004%	3,23935968	1943,62%
0,00001	0,0000005	0,0003%	0,00215983	1,3%		0,000000069	0,00004%	0,32411483	194,47%
0,000001	0,00000005	0,00003%	0,00021601	0,13%		0,0000000069	0,000004%	0,03241623	19,45%

prise en compte de la constante

• La solution générale de l'équation (2) est : $y\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x+1}}+K{\left(x+1\right)}^4$ où la valeur de la constante $K=0$ est déterminée par la condition initiale $y\left(0\right)=1$.

  Or en raison des erreurs d'approximation en un point $x_i$ la valeur calculée n'est pas $y_i={\displaystyle \frac{1}{x_i+1}}$, mais $y_i+𝜺$ d'où la valeur de la constante associée $K_i={\displaystyle \frac{𝜺}{{\left(x_i+1\right)}^4}}$.

  La solution de l'équation différentielle suit alors une trajectoire associée à cette valeur. Les erreurs d'approximation font qu'au pas suivant le point de coordonnées $\left(x_{i+1};y_{i+1}\right)$ ne se trouvera pas sur la trajectoire associée à $K_i$ mais sur une trajectoire différente associée à une valeur différente $K_j$.

  La figure ci-contre représente les courbes des solutions de l'équation différentielle (2) pour quelques valeurs de la constante K associée à 𝜺.

  On s'aperçoit qu'une petite erreur se traduisant par une petite modification de la valeur K modifie sensiblement la trajectoire.

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• Le même phénomène se produit pour l'équation (1) dont la solution générale est : $y={\displaystyle \frac{1}{x+C}}$ où la valeur de la constante $C=1$ a été déterminée par la condition initiale $y\left(0\right)=1$.

  En supposant que la valeur initiale soit prise non pas à 1 mais à $1+𝜺$, c'est à dire pour une valeur de $C=1+𝜺$, la figure ci-contre montre les solutions correspondant aux différentes valeurs de C.

  On constate qu'une variation de C ne modifie pas beaucoup la trajectoire de départ, parce que dans ce cas les différentes trajectoires convergent au lieu de diverger.

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télécharger

Un classeur  Excel qui reprend les trois équations différentielles résolues avec la méthode d'Euler est disponible ( Ne pas oublier d'activer les macros)

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