limites de fonctions

notion de Limites de fonctions

Limite finie

Déterminer limxa fx c'est examiner les valeurs fx d'une fonction f lorsque x est proche d'une valeur a, sans pour cela l'atteindre.

Exemple 1: Soit f la fonction définie sur \{ 3 } par fx= x3 - 3 x2 4x-12

x f(x)   x f(x)
2,9 2,1025 3,1 2,4025
2,99 2,235025 3,01 2,265025.
2,999 2,2480025 3,001 2,25150025
2,9999 2,24985... 3,0001 2,25015...
2,99999 2,24999... 3,0001 2,250015...

La fonction f n'est pas définie pour x = 3. En effet si on remplace x par 3 on obtient la forme indéterminée 0 0 .
Dans les tableaux ci-contre, figurent quelques valeurs de la fonction f pour des valeurs de x proches de 3.

Il semble que plus x est proche de 3 plus fx prend des valeurs proches de 2,25.


Cependant on ne peut pas être certain de ce résultat puisque quelques valeurs seulement ont été calculées.

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Or pour tout réel x, fx= x 2 x-3 4 x-3 ainsi pour x3 nous avons fx= x 2 4 .

La courbe représentative de la fonction f est une parabole privée du point de coordonnées ( 3 ; 2,25).

Quand x est proche de 3, fx prend des valeurs proches de 2,25 signifie également que l'on peut rendre fx aussi proche de 2,25 que l'on veut en choisissant une valeur de x suffisamment proche de 3 et x3.

Graphiquement pour un intervalle E de centre 2,25 aussi petit qu'il soit, on peut toujours trouver un intervalle d correspondant de centre 3, tel que pour toute valeur x de l'intervalle d, fx est dans l'intervalle E.

Dans ce cas on écrit que limx3fx = 2,25 .


Remarque:

L' interprétation graphique de la définition mathématique de la limite d'une fonction (hors programme) est donnée ci-dessous.

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tableau récapitulatif des différentes limites
notation signification intuitive illustration graphique
lim xa fx=L

On peut rendre fx proche de L en choisissant une valeur de x suffisamment proche de a et xa.

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Limite à gauche

limxa-fx=L
limxax<af(x)=L

On peut rendre fx aussi proche de L en choisissant une valeur de x suffisamment proche de a et x<a.

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limite à droite

limxa+fx=L
lim xax>a fx=L

On peut rendre fx aussi proche de L en choisissant une valeur de x suffisamment proche de a et x>a.

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Limite infinie

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Lorsqu'on cherche lim x a- fx ou encore lim x a+ fx , il arrive que les valeurs de la fonction croissent ou décroissent sans borne.

C'est le cas par exemple de la fonction f définie sur l'intervalle ] 0, + ∞ [ par fx= 1x .
Graphiquement pour tout réel M > 0 , on peut toujours trouver un réel a > 0 tel que f ( a ) > M.
On remarque que fx peut devenir aussi grand que l'on veut si x est suffisamment proche de 0 ( x ≠ 0 ).
Pour avoirfx = 10 9 il suffit de choisir x = 10 -9 .

Dans ce cas on écrit lim x 0+ f ( x ) =+ .


Le symbole + ∞ ne représente pas un nombre réel, ce n'est qu'une façon de traduire le fait que fx peut devenir aussi grand que l'on veut.


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✉ A.Yallouz

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