notion de Limites de fonctions

Limite finie

Déterminer $\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$ c'est examiner les valeurs $f\left(x\right)$ d'une fonction f lorsque x est proche d'une valeur a, sans pour cela l'atteindre.

Exemple 1: Soit f la fonction définie sur $ℝ\backslash \left\{3\right\}$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^3-3x^2}{2x-6}}$

x	f(x)		x	f(x)
2,9	4,205		3,1	4,805
2,99	4,47005		3,01	4,53005
2,999	4,4970005		3,001	4,5030005
2,9999	4,4997...		3,0001	4,5003...
2,99999	4,49997...		3,00001	4,50003...

La fonction f n'est pas définie pour $x=3$. En effet si on remplace x par 3 on obtient la forme indéterminée ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ .
Dans les tableaux ci-contre, figurent quelques valeurs de la fonction f pour des valeurs de x proches de 3.

Il semble que plus x est proche de 3 plus $f\left(x\right)$ prend des valeurs proches de 4,5.

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Cependant on ne peut pas être certain de ce résultat puisque quelques valeurs seulement ont été calculées.

Or pour tout réel x, $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2\left(x-3\right)}{4\left(x-3\right)}}$ ainsi pour $x\ne 3$ nous avons $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x^2}{4}}$.

La courbe représentative de la fonction f est une parabole privée du point de coordonnées $\left(3;\mathrm{4,5}\right)$.

Quand x est proche de 3, $f\left(x\right)$ prend des valeurs proches de 4,5 signifie également que l'on peut rendre $f\left(x\right)$ aussi proche de 4,5 que l'on veut en choisissant une valeur de x suffisamment proche de 3 et $x\ne 3$.

Graphiquement pour un intervalle E de centre 4,5 aussi petit qu'il soit, on peut toujours trouver un intervalle d correspondant de centre 3, tel que pour toute valeur x de l'intervalle d, $f\left(x\right)$ est dans l'intervalle E.

Dans ce cas on écrit que $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=\mathrm{4,5}$.

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Remarque :

La définition mathématique de la limite finie L en une valeur a d'une fonction (hors programme) est donnée ci-dessous.

Soit une fonction f définie sur un intervalle I, $a\in I$ et $L\in ℝ$. Intuitivement, si "$f\left(x\right)$ peut être rendu aussi proche que l’on veut de L à condition de prendre x suffisamment proche de a" on dit que f a pour limite L en a. "$f\left(x\right)$ peut être rendu aussi proche que l'on veut de L" signifie que "la distance entre $f\left(x\right)$ et L peut être aussi proche que l'on veut de 0" ce qui donne la traduction mathématique suivante : Quel que soit $\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon$. "à condition de prendre x suffisamment proche de a" se traduit par "à condition de rendre la distance entre a et a assez proche de 0". Mathématiquement on introduit un $\delta >0$, dépendant de ε, tel que $0<\left|x-a\right|<\delta$. Finalement, on obtient la définition formelle suivante. Soit une fonction f définie sur un intervalle I, $a\in I$ et $L\in ℝ$. Dire que la fonction f admet pour limite L quand x tend vers a signifie que : Quel que soit , il existe un réel $\delta >0$ tel que si $\left|x-a\right|<\delta$ on a alors $\left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon$. On note alors :$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=L$.

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Limites finies en un point

notation	signification intuitive	illustration graphique
$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=L$	On peut rendre $f\left(x\right)$ proche de L en choisissant une valeur de x suffisamment proche de a et $x\ne a$.
Limite à gauche $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)=L$ $\underset{\begin{array}{l}x\to a\\ x<a\end{array}}{\lim }f\left(x\right)=L$	On peut rendre $f\left(x\right)$ aussi proche de L en choisissant une valeur de x suffisamment proche de a et $x<a$.
limite à droite $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)=L$ $\underset{\begin{array}{l}x\to a\\ x>a\end{array}}{\lim }f\left(x\right)=L$	On peut rendre $f\left(x\right)$ aussi proche de L en choisissant une valeur de x suffisamment proche de a et $x>a$.

Limite infinie

Lorsqu'on cherche $\underset{x\to a^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ ou encore $\underset{x\to a^{+}}{\lim }f\left(x\right)$ , il arrive que les valeurs de la fonction croissent ou décroissent sans borne.

C'est le cas par exemple de la fonction f définie sur l'intervalle $\left]0;+\infty \right[$ par $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{1}{x}}$.
Graphiquement pour tout réel $M>0$, on peut toujours trouver un réel $a>0$ tel que $f\left(a\right)>M$.
On remarque que $f\left(x\right)$ peut devenir aussi grand que l'on veut si x est suffisamment proche de 0 ($x\ne 0$).

Pour avoir $f\left(x\right)>{10}^9$, il suffit de choisir $0<x<{10}^{-9}$.

Dans ce cas on écrit $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=+\infty$.

Le symbole $+\infty$ ne représente pas un nombre réel, ce n'est qu'une façon de traduire le fait que $f\left(x\right)$ peut devenir aussi grand que l'on veut.

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