continuité et résolution d'équations

À propos du théorème des valeurs intermédiaires

théorème des valeurs intermédiaires

énoncé

f étant une fonction continue sur un intervalle [a;b] , m et M étant respectivement les minimum et maximum de f sur [a;b] , pour tout réel k compris entre m et M il existe au moins un réel c de [a;b] tel que fc=k.

Interprétation graphique

𝒞f est la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d'un repère.

[a;b] est un intervalle sur lequel la fonction f est définie. On note m le minimum de la fonction f et M le maximum de la fonction f sur [a;b] .

Si f est une fonction continue sur [a;b] alors, pour tout réel k [m;M] , il existe au moins un point d'intersection entre la droite d'équation y=k et la courbe 𝒞f dont l'abscisse c est solution de l'équation fx=k.

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À l'aide de la souris, déplacez la droite D et observez le nombre de solutions de l'équation fx=k pour k [m;M] .

la continuité une condition suffisante :

fonction continue

Soit f une fonction définie sur un intervalle I de contenant un réel a.
- Dire que f est continue en a signifie que limxafx=fa.
- Dire que f est continue sur I signifie que f est continue en tout réel appartenant à I.

Intuitivement une fonction continue est celle dont la courbe représentative, ne présente aucun saut, aucun trou, aucune asymptote verticale.

En terminale ES on ne demande pas de démontrer qu'une fonction est continue. D'après le programme, on conviendra que dans un tableau, les flèches obliques de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l'intervalle considéré.

Plus généralement, on admettra les résultats suivants :

- Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est continue sur chacun des intervalles sur lesquels elle est définie.
- Toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.


la continuité, une hypothèse fondamentale

Si la fonction f n'est pas continue, l'existence de solutions n'est plus certaine.

Par exemple, la fonction f représentée ci-dessous n'est pas continue en 3. Pour les valeurs de k situées dans l'intervalle 45 , l'équation fx=k n'a pas de solution.

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À l'aide de la souris, déplacez la droite D et observez le nombre de solutions de l'équation fx=k pour k [m;M] . Par exemple f ne prend pas la valeur 4,6.


Attention ! la continuité est une condition suffisante mais pas nécessaire :
une fonction f peut prendre toute valeur sur un intervalle sans que cette fonction soit continue.

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À l'aide de la souris, déplacez la droite D et observez le nombre de solutions de l'équation fx=k pour k [m;M] .

Pour tout réel k [m;M] l'équation fx=k a des solutions dans l'intervalle ab et pourtant la fonction f représentée ci-dessus n'est pas continue en 3.

Cas particulier

Soit f une fonction continue sur un intervalle [a;b] , si fa et fb sont de signes contraires alors, il existe au moins un réel c de [a;b] tel que fc=0.

Si f est une fonction continue sur [a;b] telle que fa et fb sont de signes contraires alors, 0 est une valeur intermédiaire , donc l'équation fx=0 admet au moins une solution α dans [a;b] .

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exemple

Soit f la fonction définie sur par fx=x5-3x4+6x2+2x-1 . La fonction f admet-elle une racine entre 0 et 1 ?

f est une fonction polynôme donc continue sur .

f0=-1 et f1=5. Donc f0 et f1 sont de signes contraires.

D'après le théorème des valeurs intermédiaires il existe au moins un réel c compris entre 0 et 1 tel que fc=0.


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✉ A.Yallouz

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