fonctions de deux variables

Représentation graphique de fonctions de deux variables

Dans de nombreux contextes, l'utilisation de fonctions comportant une seule variable n'est pas vraiment réaliste. Par exemple, on peut étudier un coût de production avec deux facteurs : le facteur travail et le facteur capital.
Si x représente le coût du facteur travail et y celui du facteur capital, le coût total de production est donné par la fonction $f (x; y)$ .

fonction de deux variables

Définition

Soit I et J deux intervalles.
Définir une fonction f de deux variables c'est associer à chaque couple $(x; y)$ , $x \in I$ et $y \in J$ , un réel et un seul, noté $f (x; y)$ .

représentation graphique

L'espace est muni d'un repère $(O; \vec{𝚤}, \vec{𝚥}, \vec{k})$ . La représentation graphique d'une fonction f de deux variables, $x \in I$ et $y \in J$ , est la surface 𝒮 d'équation $z = f (x; y)$ .

exemple

On a représenté ci-dessous, la surface 𝒮 d'équation $z = x^{2} + x y$ pour $x \in] 0; 10]$ et $y \in [0; 10]$ .

$A (7; 6; z_{A})$ est un point de la surface 𝒮, ses coordonnées vérifient l'équation de la surface 𝒮. Sa cote est : $z_{A} = 7^{2} + 7 \times 6 = 91$ Ainsi, le point A de la surface 𝒮 a pour coordonnées $A (7; 6; 91)$ .

sections de surface

On considère une fonction f de deux variables, représentée dans l'espace par une surface d'équation $z = f (x; y)$ .
Pour faciliter la perception de la surface, on se sert des intersections de la surface avec des plans parallèles aux plans de base.

courbes de niveau

Les courbes de niveau k d'une fonction f de deux variables sont les intersections de la surface d'équation $z = f (x; y)$ avec les plans parallèles au plan $(x O y)$ d'équation $z = k$ .
C'est l'ensemble des points $M (x; y; z)$ dont les coordonnées vérifient le système ${\begin{array}{l} z = f (x; y) \\ z = k \end{array}$ .

exemple

On a représenté ci-dessous, la surface 𝒮 d'équation $z = x^{2} + x y$ pour $x \in] 0; 10]$ et $y \in [0; 10]$ .

Les points de la surface 𝒮 situés entre les courbes de niveau $z = 40$ et $z = 80$ ont une cote $40 ⩽ z ⩽ 80$ .

Pour déterminer la section de la surface 𝒮 avec le plan d'équation $z = 40$ on résout le système $\begin{array}{lcr} {\begin{cases} z = x^{2} + x y \\ z = 40 \end{cases} & \Leftrightarrow & {\begin{cases} y = \frac{40}{x} - x & avec x \neq 0 \\ z = 40 \end{cases} \end{array}$

remarque

La projection de la surface 𝒮 sur le plan $(x O y)$ donne les courbes de niveau $z = k$ .

Sections par des plans parallèle aux plans $(y O z)$ ou $(x O z)$

Sections de la surface 𝒮 par des plans d'équation $x = k$ parallèles au plan $(y O z)$ .
C'est l'ensemble des points $M (x; y; z)$ dont les coordonnées vérifient le système ${\begin{array}{l} z = f (x; y) \\ x = k \end{array}$ .
exemple
Dans le plan d'équation $x = 7$ , la section de la surface 𝒮 est la droite d'équation $z = 7 y + 49$ .
Sections de la surface 𝒮 par des plans d'équation $y = k$ parallèles au plan $(x O z)$ .
C'est l'ensemble des points $M (x; y; z)$ dont les coordonnées vérifient le système ${\begin{array}{l} z = f (x; y) \\ y = k \end{array}$ .
exemple
Dans le plan d'équation $x = 7$ , la section de la surface 𝒮 est la parabole d'équation $z = x^{2} + 7 x$

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