Baccalauréat technologique 2016 MATHÉMATIQUES Série STI2D

sujet : Polynésie 2016

correction de l'exercice 3

Deux amis ont monté un atelier associatif pour réparer des vélos. Le but de cette association est que chaque adhérent puisse venir réparer son vélo dans cet atelier avec l'aide d'un spécialiste. Le matériel et les outils sont fournis.

partie a : les roulements à billes

Nos deux amis commandent régulièrement des lots de 60 roulements à billes pour les vélos. Ils ont constaté que, lors de leur dernière livraison, sur le lot des 60 roulements à billes, 3 étaient défectueux. Ils s'inquiètent donc de la fiabilité du fabricant. Le contrat précise que seulement 4 % des pièces sont défectueuses.

Calculer la fréquence des pièces défectueuses dans le dernier lot.
$\frac{3}{60} = 0,05$
La fréquence des roulements à billes défectueux dans le lot est $f = 0,05$ .
On considère que les pièces constituant ce lot forment un échantillon prélevé de façon aléatoire dans un stock dans lequel 4 % des pièces sont défectueuses.
Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des roulements à billes non conformes dans un échantillon de 60 roulements. Les valeurs approchées seront arrondies à 10^-2.
On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % sur un échantillon de taille n, avec p la proportion de pièces défectueuses sur la population, est : $[p - 1,96 \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}}; p + 1,96 \sqrt{\frac{p (1 - p)}{n}}]$
On a $n = 60$ et $n p = 60 \times 0,04 = 2,4$ la condition $n p ⩾ 5$ n'est pas remplie ! l'utilisation de l'intervalle de fluctuation asymptotique n'est pas judicieuse. Toutefois, je suppose que la réponse attendue est le calcul de l'intervalle : $[0,04 - 1,96 \sqrt{\frac{0,04 \times 0,96}{60}}; 0,04 + 1,96 \sqrt{\frac{0,04 \times 0,96}{60}}] \approx [- 0,01; 0,09]$
Comme un intervalle de fluctuation est inclus dans l'intervalle $[0; 1]$ , il est préférable de considérer qu'un intervalle de fluctuation asymptotique à 95 % de la fréquence des roulements à billes non conformes dans un échantillon de 60 roulements est $I = [0; 0,09]$
Nos amis ont-ils raison de s'inquiéter ? Justifier votre réponse.
Réponse attendue :
$0,05 \in [0; 0,09]$ . La fréquence des roulements à billes défectueux dans le lot appartient à l'intervalle de fluctuation asymptotique, donc on accepte l'hypothèse du fabricant : « seulement 4 % des pièces sont défectueuses ».

partie b : les billes

Nos amis se demandent s'ils ne devraient pas plutôt commander des billes pour réparer les roulements évoqués dans la partie A.
Ils commandent une grande quantité de billes de 6 mm de diamètre.
Malheureusement, certaines présentent un défaut de diamètre. Ils s'aperçoivent qu'ils ne peuvent utiliser que les billes mesurant entre 5,9 mm et 6,1 mm.
Sur la note du fabricant est indiqué que la variable aléatoire D qui, à chaque bille, lui associe son diamètre, suit la loi normale d'espérance $μ = 6$ mm et d'écart-type $σ = 0,05$ mm.

Question : Calculer la probabilité $P (5,9 ⩽ D ⩽ 6,1)$ . Le résultat sera arrondi à 10^-2.
D'après le cours ou avec la calculatrice, on trouve : $P (5,9 ⩽ D ⩽ 6,1) \approx 0,95$ .

partie c : les chaînes de vélo

Un tableau est mis à disposition pour permettre aux utilisateurs de savoir quand ils doivent changer leur chaîne de vélo. Par exemple, pour une personne utilisant son vélo en ville (vitesse moyenne 16 km.h^-1) environ 2 heures par jour, la durée de vie moyenne de la chaîne est de 625 jours.
On admet que la durée de vie en jour, d'une chaîne de vélo pour un tel utilisateur est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. On rappelle que la probabilité que X soit inférieure ou égale à t (exprimé en jour) vaut : $P (X ⩽ t) = 1 - e^{- λ t}$ .

Démontrer que $λ = 0,0016$ .
L'espérance mathématique de la variable X est $E (X) = \frac{1}{λ}$ d'où : $\begin{matrix} \frac{1}{λ} = 625 & \Leftrightarrow & λ = \frac{1}{625} = 0,0016 \end{matrix}$
X suit une loi exponentielle de paramètre $λ = 0,0016$ .
Le graphique en annexe 1 représente la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre $λ = 0,0016$ (exprimé en jour^-1).
1. Représenter sur ce graphique la probabilité que X soit comprise entre 350 jours et 700 jours.
  Soit f la fonction de densité de la loi exponentielle suivie par X alors, $P (350 ⩽ X ⩽ 700) = \int_{350}^{700} f (t) d t$ .
  La probabilité $P (350 ⩽ X ⩽ 700)$ est donc égale à l'aire du domaine hacuré compris entre la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $t = 350$ et $t = 700$ .
2. Calculer la probabilité que X soit comprise entre 350 jours et 700 jours. Arrondir le résultat à 10^-3.
  La densité de la variable aléatoire X suivant une loi exponentielle de paramètre $λ = 0,0016$ est la fonction f définie pour tout réel t de l'intervalle $[0; + \infty [$ par $f (t) = 0,0016 e^{- 0,0016 t}$ d'où : $\begin{array}{rcl} P (350 ⩽ X ⩽ 700) & = & \int_{350}^{700} 0,0016 e^{- 0,0016 t} d t \\ = & {[- e^{- 0,0016 t}]}_{350}^{700} \\ = & e^{- 0,0016 \times 350} - e^{- 0,0016 \times 700} \\ = & e^{- 0,56} - e^{- 1,12} \\ \approx & 0,245 \end{array}$
  La probabilité que la durée de vie d'une chaîne de vélo soit comprise entre 350 jours et 700 jours est $P (350 ⩽ X ⩽ 700) \approx 0,245$ .
Calculer la probabilité que X soit de moins de 550 jours. Arrondir à 10^-3.
$\begin{array}{rcl} P (X ⩽ 550) & = & 1 - e^{- 0,0016 \times 550} \\ = & 1 - e^{- 0,88} \\ \approx & 0,585 \end{array}$
La probabilité que la durée de vie d'une chaîne de vélo soit inférieure à 550 jours est $P (X ⩽ 550) \approx 0,585$ .
Déterminer la valeur de x pour que $P (X < x) = 0,8$ . Le résultat sera arrondi à l'unité. Interpréter ce résultat en le restituant dans le contexte.
$\begin{array}{rcl} P (X < x) = 0,8 & \Leftrightarrow & 1 - e^{- 0,0016 x} = 0,8 \\ \Leftrightarrow & e^{- 0,0016 x} = 0,2 \\ \Leftrightarrow & - 0,0016 x = \ln 0,2 \\ \Leftrightarrow & x = - \frac{\ln 0,2}{0,0016} \approx 1006 \end{array}$
La probabilité que la durée de vie d'une chaîne de vélo soit inférieure à 1006 jours est 0,8.

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