sujet : Polynésie 2016

correction de l'exercice 4

partie a : Lecture graphique

On considère la courbe C associée à une fonction f représentée en annexe 2 avec la droite T, tangente à la courbe C au point d'abscisse 0.

1. Résoudre graphiquement sur l'intervalle $\left[-1;\mathrm{1,5}\right]$ et avec la précision permise par le dessin les deux inéquations suivantes :

   1. $f\left(x\right)⩾1$

      Avec la précision permise par le graphique, la courbe C est au dessus de droite d'équation $y=1$ pour $x⩽-\mathrm{0,8}$ ou $x⩾0$

      Par lecture graphique, l'ensemble des solutions sur l'intervalle $\left[-1;\mathrm{1,5}\right]$ de l'inéquation $f\left(x\right)⩾1$ est $S=\left[-1;-\mathrm{0,8}\right]\cup \left[0;\mathrm{1,5}\right]$

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   2. $f\prime \left(x\right)⩾0$

      Dressons le tableau de variation de la fonction f sur l'intervalle $\left[-1;\mathrm{1,5}\right]$ :

      x	$-1$		$\alpha \approx -\mathrm{0,4}$		1,5
      Variations de f

      Par lecture graphique, l'ensemble des solutions sur l'intervalle $\left[-1;\mathrm{1,5}\right]$ de l'inéquation $f\prime \left(x\right)⩾0$ est $S=\left[-\mathrm{0,4};\mathrm{1,5}\right]$.

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2. 1. Donner l'équation de la tangente T à la courbe C au point de coordonnées $\left(0;1\right)$ en sachant que cette tangente passe par le point de coordonnées $\left(2;7\right)$.

      Une équation de la tangente T passant par les points de coordonnées $\left(0;1\right)$ et $\left(2;7\right)$ est :$$\begin{array}{ccc}y={\displaystyle \frac{7-1}{2-0}}\times \left(x-0\right)+1& \iff & y=3x+1\end{array}$$

      La tangente T à la courbe C au point de coordonnées $\left(0;1\right)$ a pour équation $y=3x+1$.

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   2. En déduire le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$.

      Le nombre dérivé $f\prime \left(0\right)$ est égal au coefficient directeur de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse 0 d'où $f\prime \left(0\right)=3$

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partie b : Étude de la fonction f

Soit f la fonction définie sur $ℝ$ par la relation $f\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2x}+5x$.

1. Déterminer, en la justifiant, la limite de f en $+\infty$. On admet pour la suite que la limite de f en $-\infty$ est $+\infty$.

   $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\mathrm{e}}^{-2x}=0$ et $\underset{x\to +\infty }{\lim }5x=+\infty$ donc par somme des limites, $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty$

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2. Calculer $f\prime \left(x\right)$ et étudier son signe sur $ℝ$.

   $f\prime \left(x\right)=-2{\mathrm{e}}^{-2x}+5$ et pour tout réel x, $$\begin{array}{rcl}-2{\mathrm{e}}^{-2x}+5⩽0& \iff & {\mathrm{e}}^{-2x}⩾{\displaystyle \frac{5}{2}}\\ & \iff & -2x⩾\ln \mathrm{2,5}\\ & \iff & x⩽-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{2,5}}{2}}\end{array}$$

   On en déduit le tableau du signe de $f\prime \left(x\right)$ :

   x	− ∞		$-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{2,5}}{2}}$		+ ∞
   Signe de $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+

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3. En déduire le tableau des variations de la fonction f sur $ℝ$.

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

   x	− ∞		$-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{2,5}}{2}}$		+ ∞
   $f\prime \left(x\right)$		−	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	+
   $f\left(x\right)$	$+\infty$		$f\left(-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{2,5}}{2}}\right)\approx \mathrm{0,21}$		$+\infty$

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4. 1. Déterminer à partir du tableau des variations le nombre de solutions de l'équation $f\left(x\right)=2$.

      Sur chacun des intervalles où la fonction f est monotone, l'équation $f\left(x\right)=2$ admet une solution.

      L'équation $f\left(x\right)=2$ amet deux solutions ${\alpha }_1\in \left]-\infty ;-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{2,5}}{2}}\right]$ et ${\alpha }_2\in \left[-{\displaystyle \frac{\ln \mathrm{2,5}}{2}};+\infty \right[$.

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   2. Donner une valeur arrondie à 10^-2 près de chaque solution.

      Avec la calculatrice, on trouve ${\alpha }_1\approx -\mathrm{0,96}$ et ${\alpha }_2\approx \mathrm{0,29}$.

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partie c : Calcul d'aire

1. Hachurer sur le dessin, en annexe 2, l'aire A que l'on veut déterminer.

2. 1. Déterminer une primitive de la fonction g définie sur $ℝ$ par : pour tout réel x, $g\left(x\right)={\mathrm{e}}^{-2x}+2x-1$.

      Une primitive de la fonction g est la fonction G définie sur $ℝ$ par $G\left(x\right)=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-x}+x^2-x$

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   2. Justifier que l'aire A recherchée vaut, en unité d'aire : $A={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{1,5}}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

      La courbe C se situe « au-dessus » de la tangente T sur $ℝ$ d'où :$$A={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{1,5}}\left({\mathrm{e}}^{-2x}+5x\right)\mathrm{d}x}-{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{1,5}}\left(3x+1\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{1,5}}\left({\mathrm{e}}^{-2x}+2x-1\right)\mathrm{d}x}$$

      Ainsi, $A={\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{1,5}}g\left(x\right)\mathrm{d}x}$.

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   3. En déduire la valeur exacte puis l'arrondi à 10^-2 de A.

      $$\begin{array}{rcl}{\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{1,5}}g\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& G\left(\mathrm{1,5}\right)-G\left(0\right)\\ & =& \left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\mathrm{e}}^{-3}+{\mathrm{1,5}}^2-\mathrm{1,5}\right)-\left(-{\displaystyle \frac{1}{2}}\right)\\ & =& \mathrm{1,25}-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-3}\end{array}$$

      $A=\mathrm{1,25}-\mathrm{0,5}{\mathrm{e}}^{-3}\approx \mathrm{1,23}$.

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