sujet : Antilles Guyane

Corrigé de l'exercice 2 : candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. 1. Préciser les valeurs des probabilités $p\left(A\right)$ et $p\left(B\right)$

      $p\left(A\right)=\mathrm{0,6}$ et $p\left(B\right)=\mathrm{0,3}$

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   2. On note $p_A\left(S\right)$ (respectivement $p_B\left(S\right)$, $p_C\left(S\right)$) la probabilité de l'évènement S sachant que l'évènement A (respectivement B, C ) est réalisé ; calculer $p_A\left(S\right)$, $p_B\left(S\right)$ et $p_C\left(S\right)$.

      Après plusieurs années de commercialisation, on note que 37 % des lave-vaisselles en provenance du site A connaissent une panne avant 5 ans d'utilisation ; 25 % des lave-vaisselles provenant du site B connaissent une panne avant 5 ans d'utilisation, et 12 % de ceux provenant du site C connaissent une panne avant 5 ans d'utilisation. D'où :

      $p_A\left(S\right)=\mathrm{0,37}$, $p_B\left(S\right)=\mathrm{0,25}$ et $p_C\left(S\right)=\mathrm{0,12}$

      ---

   3. Construire un arbre illustrant la situation, en indiquant sur les branches adéquates les probabilités données dans l'énoncé.

2. Quelle est la probabilité que le lave-vaisselle provienne du site A et connaisse une panne avant 5 ans ?

   $$\begin{array}{ccc}p\left(A\cap S\right)=p_A\left(S\right)\times p\left(A\right)& \text{soit}& p\left(A\cap S\right)=\mathrm{0,37}\times \mathrm{0,6}=\mathrm{0,222}\end{array}$$

   La probabilité que le lave-vaisselle provienne du site A et connaisse une panne avant 5 ans est 0,222.

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3. Démontrer que la probabilité de l'évènement S est 0,309.

   Les évènements A, B et C déterminent une partition de l'ensemble des résultats de l'expérience aléatoire, alors d'après la formule des probabilités totales :$A_1,A_2,\cdots ,A_n$  forment une partition de l'ensemble des résultats élémentaires d'une expérience aléatoire.
   Alors la probabilité d'un événement B est donnée par : $$p\left(B\right)=p\left(B\cap A_1\right)+p\left(B\cap A_2\right)+\cdots +p\left(B\cap A_n\right)$$
   Dans le cas de deux évènements quelconques, A et B, relatifs à une même épreuve :$$p\left(B\right)=p\left(B\cap A\right)+p\left(B\cap \overline{A}\right)$$$$p\left(S\right)=p\left(A\cap S\right)+p\left(B\cap S\right)+p\left(C\cap S\right)$$

   Or : $$\begin{array}{llll}& p\left(B\cap S\right)=p_B\left(S\right)\times p\left(B\right)& \text{soit}& p\left(B\cap S\right)=\mathrm{0,25}\times \mathrm{0,3}=\mathrm{0,075}\\ \text{et}& p\left(C\cap S\right)=p_C\left(S\right)\times p\left(C\right)& \text{soit}& p\left(C\cap S\right)=\mathrm{0,12}\times \mathrm{0,1}=\mathrm{0,012}\end{array}$$

   D'où $$p\left(S\right)=\mathrm{0,222}+\mathrm{0,075}+\mathrm{0,012}=\mathrm{0,309}$$

   Ainsi, la probabilité qu'un lave-vaisselle connaisse une panne avant 5 ans est 0,309.

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4. Le lave-vaisselle est tombé en panne avant 5 ans d'utilisation ; quelle est la probabilité qu'il provienne du site B ?

   $$\begin{array}{ccc}{p}_S\left(B\right)={\displaystyle \frac{p\left(B\cap S\right)}{p\left(S\right)}}& \text{soit}& p_S\left(B\right)={\displaystyle \frac{\mathrm{0,075}}{\mathrm{0,309}}}\approx \mathrm{0,243}\end{array}$$

   La probabilité qu'un lave-vaisselle tombé en panne avant 5 ans d'utilisation provienne du site B est 0,243.

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5. Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

   L'entreprise E assure le service après-vente : si le lave-vaisselle tombe en panne avant 5 ans d'utilisation, elle finance la réparation, dont le prix est estimé à 110 euros par appareil réparé.
   Déterminer, pour l'entreprise, le coût moyen par lave-vaisselle de ces réparations.

   Le tableau suivant donnant la loi de probabilité du coût C de la réparation

   $x_i$	0	110
   $p\left(C=x_i\right)$	0,691	0,309

   L'espérance mathématique de cette loi est :$$\mathrm{E}=0\times \mathrm{0,691}+110\times \mathrm{0,309}=\mathrm{33,99}$$

   Le coût moyen par lave-vaisselle de ces réparations est de 33,99 €.

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