sujet : Antilles Guyane

correction de l'exercice 4 : commun à tous les candidats

partie a

On considère la fonction f définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};18\right]$ par :$$f\left(x\right)=4\ln \left(3x+1\right)-x+3$$ Le graphique de l'annexe donne la représentation graphique $C_f$ de la fonction f.

1. On note $f\prime$ la fonction dérivée de f sur $\left[\mathrm{0,5};18\right]$. Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};18\right]$, on a $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-3x+11}{3x+1}}$.

   Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};18\right]$, $$\begin{array}{ccc}f\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{4\times 3}{3x+1}}-1\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{12-3x-1}{3x+1}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{-3x+11}{3x+1}}\hfill \end{array}$$

   $f\prime$ est la fonction définie sur $\left[\mathrm{0,5};18\right]$ par $f\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{-3x+11}{3x+1}}$

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2. Étudier le signe de $f\prime \left(x\right)$ et dresser le tableau de variation de la fonction f sur $\left[\mathrm{0,5};18\right]$.

   Sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};18\right]$, $3x+1>0$. Donc $f\prime \left(x\right)$ est du même signe que $-3x+11$. Or : $$\begin{array}{ccc}-3x+11⩽0& \iff & x⩾{\displaystyle \frac{11}{3}}\end{array}$$

   Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée :

   x	0,5		${\displaystyle \frac{11}{3}}$		18
   $f\prime \left(x\right)$		+	$\underset{\left|}{\overset{\right|}{0}}$	−
   $f\left(x\right)$	$4\ln \left(\mathrm{2,5}\right)+\mathrm{2,5}$		$4\ln \left(12\right)-{\displaystyle \frac{2}{3}}$		$4\ln \left(55\right)-15$

3. Vérifier que l'équation $f\left(x\right)=6$ admet une unique solution dans $\left[\mathrm{0,5};18\right]$, que l'on note α.
   Donner une valeur approchée de α à 10⁻² près par défaut.

   • Sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};{\displaystyle \frac{11}{3}}\right]$, f est strictement croissante et $f\left(\mathrm{0,5}\right)=4\ln \left(\mathrm{2,5}\right)+\mathrm{2,5}\approx \mathrm{6,2}$ donc pour tout réel $x\in \left[\mathrm{0,5};{\displaystyle \frac{11}{3}}\right]$, $f\left(x\right)>6$

   • Sur l'intervalle $\left[{\displaystyle \frac{11}{3}};18\right]$, la fonction f est dérivable donc continue, strictement décroissante et $f\left(18\right)<6<f\left({\displaystyle \frac{11}{3}}\right)$ alors, d'après le théorème de la valeur intermédiaire,Si une fonction f est continue et strictement monotone sur un intervalle $\left[a;b\right]$, alors pour tout réel k compris entre $f\left(a\right)$ et $f\left(b\right)$, l'équation $f\left(x\right)=k$ admet une solution unique α située dans l'intervalle $\left[a;b\right]$. l'équation $f\left(x\right)=6$ admet une unique solution $\alpha \in \left[{\displaystyle \frac{11}{3}};18\right]$. avec la calculatrice, on trouve $\alpha \approx \mathrm{11,16}$.

   L'équation $f\left(x\right)=6$ admet une unique solution $\alpha \approx \mathrm{11,16}$.

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4. On note F la fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};18\right]$ par $F\left(x\right)={\displaystyle \frac{4}{3}}\left(3x+1\right)\ln \left(3x+1\right)-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}-x$

   1. Vérifier que F est une primitive de f sur $\left[\mathrm{0,5};18\right]$.

      Soit g la fonction définie sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};18\right]$ par $g\left(x\right)=\left(3x+1\right)\ln \left(3x+1\right)$. g est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables.
      $g=u\times v$ d'où $g\prime =u\prime v+uv\prime$ avec pour tout réel x de $\left[\mathrm{0,5};18\right]$ : $$\begin{array}{ccc}u\left(x\right)=3x+1\hfill & \text{;}& u\prime \left(x\right)=3\hfill \\ v\left(x\right)=\ln \left(3x+1\right)\hfill & \text{;}& v\prime \left(x\right)={\displaystyle \frac{3}{3x+1}}\hfill \end{array}$$

      D'où pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};18\right]$ : $$\begin{array}{ccc}g\prime \left(x\right)& =& 3\ln \left(3x+1\right)+{\displaystyle \frac{3\left(3x+1\right)}{3x+1}}\hfill \\ & =& 3\ln \left(3x+1\right)+3\hfill \end{array}$$

      Nous pouvons calculer la dérivée de la fonction F :$$\begin{array}{ccc}F\prime \left(x\right)& =& {\displaystyle \frac{4}{3}}\times \left(3\ln \left(3x+1\right)+3\right)-x-1\hfill \\ & =& 4\ln \left(3x+1\right)-x+3\hfill \end{array}$$

      Pour tout réel x de l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};18\right]$, $F\prime \left(x\right)=f\left(x\right)$ donc F est une primitive de f sur $\left[\mathrm{0,5};18\right]$.

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   2. Calculer la valeur exacte de l'intégrale ${\displaystyle {\int }_1^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ et donner une valeur approchée de cette intégrale à 10⁻¹ près.

      $$\begin{array}{ccc}{\displaystyle {\int }_1^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}& =& F\left(8\right)-F\left(1\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{4}{3}}\times 25\times \ln \left(25\right)-{\displaystyle \frac{64}{2}}-8-\left({\displaystyle \frac{4}{3}}\times 4\times \ln \left(4\right)-{\displaystyle \frac{1}{2}}-1\right)\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{100\ln \left(25\right)}{3}}-{\displaystyle \frac{16\ln \left(4\right)}{3}}-{\displaystyle \frac{77}{2}}\hfill \\ & =& {\displaystyle \frac{200\ln 5-32\ln 2}{3}}-{\displaystyle \frac{77}{2}}\hfill \end{array}$$

      ${\displaystyle {\int }_1^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{200\ln 5-32\ln 2}{3}}-\mathrm{38,5}$. Soit ${\displaystyle {\int }_1^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}\approx \mathrm{61,4}$

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partie b

Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
On admet que le bénéfice réalisé par une entreprise lorsqu'elle fabrique x centaines de pièces est égal à $f\left(x\right)$, en milliers d'euros, pour une production comprise entre 50 pièces et 1800 pièces.
En utilisant les résultats précédents et en justifiant, répondre aux questions suivantes.

1. Pour quelle quantité de pièces produites, arrondie à l'unité, l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice maximal ? Quel est ce bénéfice, arrondi à la dizaine d'euros ?

   Le maximum de la fonction f est atteint pour $x={\displaystyle \frac{11}{3}}$ et $f\left({\displaystyle \frac{11}{3}}\right)\approx \mathrm{9,27}$

   Le bénéfice maximal est de 9 270 € obtenu avec une production de 367 pièces.

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2. Pour quelles quantités de pièces produites, l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice supérieur ou égal à 6000 euros ?

   D'après l'étude de la fonction f, $f\left(x\right)⩾6$ sur l'intervalle $\left[\mathrm{0,5};\alpha \right]$.

   L'entreprise réalise un bénéfice supérieur ou égal à 6000 euros pour une production comprise entre 50 pièces et 1 116 pièces.

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3. Déterminer la valeur moyenne du bénéfice lorsque la production varie entre 100 et 800 pièces.
   On donnera une valeur approchée de ce bénéfice à 100 euros près.

   La valeur moyenne de la fonction f est le réel $$m={\displaystyle \frac{1}{7}}{\displaystyle {\int }_1^{8}f\left(x\right)\mathrm{d}x}={\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{200\ln 5-32\ln 2}{3}}-\mathrm{38,5}}{7}}\approx \mathrm{8,77}$$

   Lorsque la production varie entre 100 et 800 pièces, la valeur moyenne du bénéfice est de 8 800 €.

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